3.4.3. Непрерывные случайные величины
Так как непрерывная случайная величина принимает все значения из некоторого числового промежутка, то перечислить эти значения невозможно. Поэтому для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения и для ее задания используют более общий способ – функцию распределения.
Определение.
Функцией
распределения случайной
величины
называется функция
,
равная вероятности того, что случайная
величина
принимает значение, меньшее
:
<
.
Функция
распределения является одной из форм
закона распределения и может быть
определена как для дискретной, так и
для непрерывной случайной величины.
Геометрически функция распределения
– это вероятность того, что случайная
величина принимает значения, которые
на числовой прямой лежат левее точки
.
Пример.
Свойства функции распределения
1.
,
.
2.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
.
3.
– неубывающая функция, т.е. если
>
,
то
>
.
4. Вероятность
того, что случайная величина примет
значение в интервале
равна
:
<
<
.
Наряду с функцией распределения для задания случайной величины используют также функцию, которая называется плотностью распределения.
Определение.
Плотностью
распределения вероятностей непрерывной
случайной величины называется такая
неотрицательная функция
,
определенная на всей числовой оси, что
для всех
:
.
Из этого определения следует, что, зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . И наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:
.
Приведем примеры наиболее известных и применяемых распределений случайных величин.
1. Равномерно распределенная случайная величина
Определение.
Случайная
величина
называется
равномерно
распределенной на отрезке
,
если ее плотность распределения
вероятностей имеет вид:
Рис.3
График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины приведен на рисунке ?
Математическое
ожидание такой случайной величины
вычисляется по формуле
,
а дисперсия – по формуле
.
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений.
Задача 3. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что ждать поезда пассажиру придется не больше полминуты. Найдите также математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда.
Решение.
Случайная величина
– время
ожидания поезда на временном интервале
[0,2] (в минутах) имеет равномерный закон
распределения
(см. рис.3). Поэтому вероятность того, что
пассажиру придется ждать не более
полминуты, равна
от
равной 1 площади прямоугольника, т.е.
.
,
,
.
2. Показательное распределение случайной величины
Определение. Случайная величина называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:
График плотности распределения этой случайной величины приведен на рисунке 4.
Рис.4
Для случайной величины, распределенной по этому закону, основные характеристики вычисляются по формулам:
,
,
.
3. Случайная величина, распределенная по нормальному закону
Определение. Случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:
,
где
и
– параметры нормального распределения:
параметр
является математическим ожиданием
случайной величины, а параметр
– ее средним квадратическим отклонением.
График этой функции представлен на
рисунке 5.
Рис.5
Нормальное распределение называют также Гауссовским. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения вероятностей. О значении этого закона говорит следующая теорема, которая носит название центральной предельной теоремы:
Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.
На всех рисунках
площадь заштрихованной фигуры равна
вероятности попадания значений
рассматриваемой случайной величины на
указанный отрезок
.