3.4. Случайные величины

3.4.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Понятие случайной величины является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая может принимать то или иное значение из возможного множества своих значений, но какое именно заранее неизвестно. Приведем примеры случайных величин:

1. число детей, родившихся в Ярославле в течение суток;

2. число бракованных электрических ламп в данной партии;

3. число выпадений герба при трехкратном бросании монеты;

4. число преступлений в г. Ярославле за четвертый квартал 2009 года;

5. диаметр болванки, с учетом допустимых погрешностей;

6. время безотказной работы некоторого устройства;

7. величина отклонения точки падения снаряда от центра цели.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – это величина, значения которой заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой прямой. Случайные величины примеров 1–4 являются дискретными случайными величинами с конечным множеством значений. Случайные величины 5–7 являются примерами непрерывных случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Дискретные случайные величины

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, аналитически, то есть формулой, и графически. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица:

			…
p			…

В первой строке таблицы записаны все возможные значения дискретной случайной величины в порядке возрастания, а во второй – вероятности, с которыми они принимаются. Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События , , …, , состоящие в том, что в результате опыта случайная величина принимает соответственно значения , , … , , являются несовместными и единственно возможными, то есть образуют полную группу событий. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1.

Таким образом, для любой дискретной случайной величины имеет место соотношение:

.

Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной декартовой системе координат строят точки , , …, и соединяют их отрезками прямых. Полученная ломаная называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Рис. 1

Задача 1. Составить закон распределения числа выпадений герба при трехкратном бросании монеты. Построить полигон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина (число выпадений герба при бросании монеты трижды) может иметь следующие возможные значения: (герб не выпал ни разу, все три раза выпала цифра), (один раз выпал герб и 2 раза – цифра), (2 раза выпал герб и 1 раз – цифра), (герб выпал все три раза). Подсчитаем теперь вероятности этих четырех событий. Заметим, что вероятность выпадения герба при бросании монеты равна , вероятность выпадения цифры . Тогда: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Контроль: .

Теперь напишем искомый ряд распределения:

	0	1	2	3
p	1/8	3/8	3/8	1/8

Полигон распределения постройте самостоятельно.

Замечание. Закон распределения рассмотренной случайной величины носит название биномиального.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины – числа появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна . Вероятность события ( числа появлений события в испытаниях) вычисляется по формуле .

Задача 2. В офисе работают 10 сотрудников, из них трое подозреваются в подделке документов. Сотрудниками милиции наудачу вызваны на беседу двое сотрудников. Составить закон распределения числа сотрудников, не подозреваемых в подлоге документов среди вызванных на собеседование.

Решение. Случайная величина (число сотрудников, не подозреваемых в подлоге документов среди вызванных на собеседование) имеет следующие возможные значения: , , . Вероятности принять эти значения найдем по формуле

.

Здесь =10 – число сотрудников, работающих в офисе, =7– число сотрудников, не подозреваемых в совершении подлога, =2 – число сотрудников, приглашенных на собеседование, – число сотрудников среди приглашенных на беседу, которые вне всяких подозрений. Итак, ,

, .

Контроль: . Составим искомый закон распределения:

	0	1	2
p	1/15	7/15	7/15

Замечание. Рассмотренный в этой задаче закон называют гипергеометрическим