Тема: Диференціальні рівняння

Мета: Узагальнити та систематизувати знання студентів про диференціальні моделі процесів зростання та вимірювання.

Сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбачають використання диференціальних моделей, використання поняття інтегралів.

План вивчення теми.

1. Складання диференціальних рівнянь.

2. Приклади.

3. Диференціальні рівняння показникового зростання.

4. Диференціальне рівняння гармонійних коливань.

Домашне завдання: конспект.

1. Складання диференціальних рівнянь

Багато завдань фізики, техніки, біології і соціальних наук вирішуються за допомогою диференціальних рівнянь. При цьому спочатку складається диференціальне рівняння, яке потім вирішується в багатьох окремих випадків, по одному з вказаних вище способів залежно від його типу.

Складання диференціальних рівнянь по умові завдання нагадує складання рівнянь алгебри. При рішенні завдань на складання диференціальних рівнянь широко використовуються геометричний і фізичний сенс похідної,а також відомі закони природних і соціальних наук.

Розглянемо деякі приклади

Приклад. Конденсатор, ємкість якого Q, вмикається в ланцюг з напругою Е і опором R. Визначити заряд q(t) конденсатора у момент часу t як що в початковий момент часу він був рівний нулю.

Якщо у момент часу t заряд конденсатора рівний q(t),то до цього моменту часу струм i рівний , а електрорушійна сила Е рівна різниці між напругою ланцюга U і напругою конденсатора q/Q т . е.

Згідно закону Ома I = E/R, звідки

, або (1)

Рівняння(1) є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Для його вирішення зробимо підстановку q = vu, откуда

Підставляючи значення q і в рівняння (1), гру пируючи члени, v, виносимо, що містять, його за дужки отримаємо

(2)

Знайдемо функцію u, що задовольняє умові (3)

Тоді рівняння (2) прийме вигляд (4)

З рівняння (3) знаходимо

звідки, інтегруючи, отримуємо

або (5)

Підставимо отриману функцію u в рівняння (4),тоді

тобто ,

звідки або

Таким чином

або .

Постійну C знайдемо з умови q=0 при t=0 , , ті

Отже, у будь-який момент часу t заряд конденсатора визначається по формулі .

2. Диференціальне рівняння показового зростання.

Ряд завдань на складання диференціальних рівнянь приводить до рівнянь вигляду (6)

де R-постійна величина.

Рівняння (6) називається рівнянням показового зростання. Його сенс полягає в тому, що швидкість зміни функції пропорційна самій функції

Перепишемо рівняння (6) у вигляді

Розділяючи змінні інтегруючи, знаходимо

або (7)

Приклад 2. Катер рухається в спокійній воді із швидкістю Vо ₌ 20 км/год. Визначити швидкість катера через 2мін.после виключення двигуна, якщо за 40с вона зменшилася до = 8км/год. Опір води пропорційний швидкості рух катера.

Хай швидкість руху катера у момент часу t рівна v. Тоді на рухомий катер діє сила опору води, але згідно закону Ньютона , а отже (8)

Рівняння (8) є диференціальним рівнянням показового зростання, тому його загальним рішенням буде . (9)

Постійну С знайдемо з початкової умови v(0)=20 км/год

т.е.C = 20

Отже, швидкість руху катера після виключення двигуна визначається формулою (10)

Знайдемо значення постійної . Для цього скористаємося умовою, що при ч швидкість км/год.

тобто покладемо в рівності (10) мін = ч і = , знайдемо шукану швидкість: (км/год).

Приклад 3.Швидкість розпаду радію у момент часу t пропорційна його кількості m(t).Нехай в початковий момент часу маса радію р. Скільки радію залишиться через 300лет, якщо відомо, що період Т напіврозпаду радію(проміжок часу, через який первинна маса радію зменшується в два рази) рівний 1550 рокам.

З умови завдання маємо

, (11)

де . Знак мінус показує, що маса радію убуває, а отже, швидкість розпаду негативна. Інтегруючи рівняння (11), знайдемо його загальне рішення .

Згідно умові, маємо, тобто .

Отже .

Коефіцієнт знайдемо з умови, що при .

Таким чином .

Поклавши t=300, знайдемо кількість радію, що залишився, що не розпався через 300 років: р