17. Связь между непрерывностью и существованием производной функции

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций:

1. Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

2. Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученный факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если   и равен (-1), если   , получаем, что предел не существует, следовательно, в нуле производной нет, и функция в нуле не дифференцируема. 

17. Правила вычисления производной от суммы, произведения, частного функции.

1. Производная постоянной равна нулю, то есть ;

2. Производная аргумента равна 1, то есть ;

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть ;

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения первого сомножителя на производную второго, то есть

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: (при условии, что .

17. Производная сложной функции

Пусть переменная есть функция от переменной , а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной x, то есть задана сложная функция .

Теорема. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть .

17. Нахождение производных от основных элементарных функций

1. Производная логарифмической функции:

;

- относительная скорость изменения функции

2. Производная показательной функции:

и

3. Производная степенной функции:

4. Производная степенно-показательной функции:

5. Производные тригонометрических функций

6. Производная неявной функции:

Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением .

Для нахождения производной функции заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .