13. Бесконечно большие величины

Функция называется бесконечно большой величиной при x→х_0, если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такое положительное число зависящее от М, , что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию |x-x₀| , будет верно неравенство .

lim_x→0 ∞

х_{0 0}

Функция называется бесконечно большой величиной при x→∞ _, если для любого сколь угодно большого положительного числа М найдется такое положительное число (зависящее от М, , что для всех х, удовлетворяющих условию , будет верно неравенство .

14. Теоремы о величинах, обратных б.б. и б.м.

Если функция есть б.м. величина при x→х₀ (x→∞), то является б.б. при x→х₀ (x→∞). И обратно если функция б.б. при x→х₀ (x→∞), то функция есть величина б.м. при x→х₀ (x→∞).

15. Предел последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если последовательность {a_n}={x_n-a} является б.м.

16. Определение предела последовательности на языке « » - «N».

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа можно подобрать такой номер N (зависящий от ), что, начиная с этого номера (то есть для всех ), будет выполнено неравенство _n

(A=limx→∞ an) ↔ ( ε > 0) ( N=N(ε)) ( n>N) |an-A|< ε

17. Свойства последовательностей, имеющих предел

Последовательность {xn} называется ограниченной снизу (сверху), если существует такое число C, что все члены последовательности удовлетворяют условию xn ≥ C (xn ≤ C). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Геометрически ограниченность последовательности означает, что все ее значения лежат на некотором отрезке.

Можно показать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Заметим, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность {xn}: xn = (–1)n.

17. Геометрический смысл предела последовательности.

Число a – предел последовательности x_n, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности {x_n}.

17. Теорема о единственности предела последовательности

Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. x_n→a и x_n→b одновременно. Выберем числа e₁ и e₂ таким образом, чтобы множества, задаваемые неравенствами , не пересекались. По определению предела последовательности, начиная с некоторых значений N₁ (N₂), все члены последовательности принадлежат первому (второму) из этих множеств. Выберем в качестве N₃=max(N₁, N₂). Тогда, начиная с номера N₃, все члены последовательности принадлежат обоим этим множествам, что невозможно.

17. Теорема о связи последовательности, имеющей предел, её предела и бесконечно малой.

Для того чтобы последовательность имела предел (сходилась) необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить виде постоянной и б.м. последовательности.