17. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши

Теорема (первая теорема Больцано-Коши) Если функция непрерывна на  и в 2 его точках  принимает значения разных знаков, то по крайней мере в одной точке между   функция обращается в нуль, т.е. 

Геометрический смысл: График непрерывной на промежутке и принимающей в двух точках этого промежутка значения разных знаков пересекает ось абсцисс по крайней мере в одной точке.

В теореме лишь утверждается существование нуля функции такой точки  , где , но не показывает метода нахождения точки.

Теорема (вторая теорема Больцано - Коши) Если  непрерывна на  и в двух его точках  то для всякой точки    между точками  найдется хотя бы одна точка что

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямая где  , пересечет график функции  по крайней мере в одной точке.

17. Разрывные функции. Типы разрывов.

Точка разрыва - значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции.

Разрывные функции - функции, имеющие разрыв в некоторых точках.

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке   функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке, то есть

 .

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке    функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть  . Точку     в этом случае называют точкой скачка функции.

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке   функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева  , либо предел справа  , не существует или бесконечен.

17. Определение производной функции

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

17. Производная как скорость изменения функции.

Производная пути по времени есть скорость точки в момент .

Производная объема произведённой продукции по времени есть производительность труда в момент

17. Геометрический смысл производной функции.

Рассмотрим график функции  

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

   где    - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то    неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.