17. Теоремы об арифметический свойствах пределов последовательностей

Теорема 1. Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {у_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {у_n}.

Теорема 2. Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Теорема 3. Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Теорема 4. Частное двух сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n}, предел второй из которых отличен от нуля, опре­делено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному преде­лов последовательностей {х_n} и {y_n}.

17. Признаки существования предела

1. Если   

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (x_n) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда (критерий Коши).

17. Замечательный предел типа «е»

Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности , которая возрастает и ограниченна сверху, поэтому сходится.

17. Предел функции в точке

Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

И обозначается это так: .

17. Определение предела функции на языке « » - «N».

Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдётся такое число (зависящее от ε), что для всех x таких, что , выполняется неравенство .

17. Геометрический смысл предела функции в точке

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство равносильно двойному . Число A есть предел функции при , если для любого  найдется такая -окрестность точки a, что для всех из этой окрестности соответствующие значения функции будут заключены в полосе .

17. Б.м. и б.б. функции

Функция называется бесконечно малой при x→х₀ (или в окрестности точки ), если . Таким образом , где - б.м. при x→х_0.

Функция называется бесконечно малой величиной при x→х₀, или при x→∞, если её предел равен 0.

Б.б. функция - функция переменного х, которая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция определенная в окрестности точки , называется бесконечно большой функцией при х, стремящемся к , если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠  и таких, что |х  | < δ, выполняется неравенство Этот факт записывается так:

17. Свойства функций имеющих предел

1. Если C – есть постоянная функция, то ;

2. Если существуют , и в некоторой окрестности точки a функция ограничена, т.е. , тогда ;

3. Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

4. Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

5. Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии);

6. Если и существуют и , то .