8. Суперпозиция функции

Пусть функция есть функция от переменной u, определённой на множестве с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией от переменной , определённой на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функции, функцией от функции).

Суперпозиция (сложная функция) - это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Рассмотрим две булевы функции: функцию f  от n аргументов   и функцию g от m аргументов .

Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:

• Подстановкой одной функции в качестве некоторого аргумента для другой;

• Отождествлением аргументов функций.

Подстановкой функции   в функцию   называется замена  аргумента функции   значением функции  :

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

При подстановке функции g вместо i-того аргумента функции f, результирующая функция h будет принимать аргументы, которые можно разделить на следующие блоки:

1. - аргументы функции f до подставленного значения функции g;

2. - используются как аргументы для вычисления значения функции –

3. _- аргументы функции f после подставленного значения функции g.

Отождествлением переменных называется подстановка  аргумента функции f вместо i-того аргумента:

Таким образом, при отождествлении   переменных мы получаем функцию   с количеством аргументов  .

9. Последовательность – функция натурального аргумента

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

а₁, а₂… а,…

Другими словами числовая последовательность – это функция натурального аргумента: a_n=f(n).

Числа а₁, а₂ называются членами последовательности, а число а_n – общим или n-м членом данной последовательности.

2,4,6,8,…,2_n,…(монотонная, неограниченная);

1,0,1,0,…(не монотонная, ограниченная);

10. Бесконечно малые последовательности

Бесконечно малая последовательность - последовательность, предел которой равен 0. То есть

11. Определение бесконечно малых последовательностей на языке « » - «n».

Последовательность называется б.м., если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно подобрать такой номер N, что начиная с этого номера (то есть для всех ), будет верно неравенство

12. Теоремы о свойствах бесконечно малых последовательностей

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

3. Произведение двух б.м. последовательностей является б.м. последовательностью.

4. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью.