5. Бинарные отношения

Соответствием между множествами   (или соответствием из  ) называется любое подмножество декартова произведения  . Если множества   совпадают, то соответствие между множествами   называют также бинарным отношением на множестве 

Пример:

Пусть  ,  . Тогда множество кортежей  , являются соответствием из 

Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества  декартова произведения  , а путем указания свойства пар , принадлежащих этому подмножеству  Например, отношение  на множестве  можно определить как свойство "Делится" на этом подмножестве целых чисел.

6. Функция как закон соответствия между множествами

Правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если:

• задана область определения функции X;

• задана область значений функции Y;

• известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

Если для любых двух значений аргумента  из условия следует  то функция называется возрастающей; 

Если для любых   из условия   следует  , то функция   называется убывающей. 

Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число  , что   для всех значений  . 

Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7. Класс элементарных функций

Среди всего многообразия функций исторически выделились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее широкой областью применения. Это так называемые простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своем составными элементами последних.

Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную квадратичную , степенную ( , где n целое число, не равно 1), показательную ( , где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую ( , где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx), обратные тригонометрические (y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx).

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций.

Выделим классы функций, которые получены из элементарных:

• Целая рациональная функция (или многочлен где n - целое неотрицательное число (степень многочлена),   - постоянные числа (коэффициенты).

• Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.

Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.

• Иррациональная функция - это та, которая строится с помощью суперпозиции рациональной функции и степенных функций с рациональными показателями.

Рациональная и иррациональная функции образуют класс алгебраических функций. Алгебраическая функция - произвольная функция  , которая удовлетворяет уравнению:

Элементарные функции, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными.