50. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределами

Пусть функция интегрируема на любом отрезке . Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами (или I рода) определяются следующим образом:

где произвольное число (обычно ).

Несобственные интегралы I рода называются сходящимися если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися.

Вот некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода:

1. Если на промежутке непрерывные функции удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла (признак сравнения).

2. Если при и существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

ИЛИ

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном отрезке , то есть функция определена для произвольного

Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , то есть

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

По аналогии с теорией числовых рядов при работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

50. Несобственные интегралы от разрывных функций

Если функция непрерывна в промежутке и имеет разрыв II рода при , то несобственный интеграл от неограниченной функции определяется следующим образом:

Если предел, стоящий в правой части равенства, существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся; в противном случае – расходящимся.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают

Если функция терпит разрыв II рода во внутренней точке , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа сходятся.

Вот некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов II рода:

1. Если на промежутке функции непрерывны, при терпят разрыв второго рода и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла (признак сравнения).

2. Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпят разрыв второго рода. Если существует предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).

3. Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке , и не собственный интеграл сходится, то сходится и интеграл .