50. Теорема о производной определённого интеграла по переменному верхнему пределу

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , то есть

50. Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке функции может быть найдена её первообразная , то простым и удобным методом вычисления определённого интеграла является формула Ньютона-Лейбница:

При интегрировании четных и нечётных функций в симметричных пределах интегрирования полезно использовать формулу

50. Свойства определённого интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

где - некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых

4. Если на отрезке , то и

то есть обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке (где , то найдётся такое значение , что

50. Теорема о среднем значении определённого интеграла на отрезке

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке (где , то найдётся такое значение , что

50. Геометрические приложения определённого интеграла

 Если  непрерывна и положительна на , то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями  (см. рис. 5.).

     Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция  заданная на промежутке , равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек  . Составим для  интегральную сумму 

     Пусть из точек  , входящих в определение   точек совпадают с точками  , а остальные отличны от них. Тогда в суммеσ будет лишь   слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел есть  , то, очевидно,

откуда ясно, что при  будет и  Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

     Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму  , за точки  выберем числа иррациональные, то окажется  . Если же все  взять рациональными, то получится  . Таким образом, за счет одного лишь уменьшения  нельзя приблизить  к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

     В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке Тогда по геометрическому смыслу определённого интеграла площадь под кривой на численно равно определённому интегралу , то есть

2. Пусть функция не положительна и непрерывна на отрезке Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью S криволинейной трапеции «над кривой» на и интегралом .

Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением . Функция уже неотрицательна на , а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади . Тогда

Таким образом, если функция неположительна на , то площадь S над кривой на отличается знаком от определённого интеграла .

2. П усть на отрезке задана непрерывная функция общего вида. Предположим, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна нулю. Выясним, какая в данном случае существует связь между определённым интегралом и площадями возникающих криволинейных трапеций. Рассмотрим, например, случай функции, изображённой на рисунке. Площадь заштрихованной фигуры , то есть равна алгебраической сумме соответствующих определённых интегралов:

.

2. Приведём формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычислении площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и , такие что Тогда площадь S фигуры, заключённой между кривыми и на отрезке вычисляется по формуле

Вычисление объемов тел вращения.

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Необходимо найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями ,

Д ля решения задачи применим тот же подход, который был использован выше для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками: и на каждом из отрезков разбиения некоторым образом выберем точку , где Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма

слагаемое которой – это объем цилиндра с высотой и радиусом основания . Очевидно, что приближение для искомого объема будут тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения , поэтому за искомый объем естественно взять следующий предел

Где - максимальная из длин отрезков разбиения, но выражение стоящее в правой части – предел интегральной суммы для функции , поэтому получаем