50. Метод интегрирования по частям (метод стрелок)

Пусть производные функций существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Поскольку , то формулу часто записывают в более компактном виде:

Метод интегрирования по частям целесообразно применять в трёх случаях, когда получающийся в правой части формулы интеграл проще исходного или равен ему. Этим методом, например, пользуются, когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций и так далее или и т.д.

Метод стрелок:

50. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

К таким интегралам относится интеграл вида   где - многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

 Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

 Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 

1)        - интеграл Пуассона (Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840));

2)        - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.);

3)        - интегральный логарифм;

4)        - приводится к интегральному логарифму;

5)        - интегральный синус;

6)        - интегральный косинус.

50. Задача нахождения площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и осью абсцисс (рисунок 11.1).

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введём в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на (рисунок 11.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций, и её площади (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул в планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведённые рассуждения носят качественный характер. Для того, чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. В результате мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

50. Определённый интеграл как предел интегральных сумм

Понятие интегральной суммы. Пусть на задана функция Разобьём отрезок на n элементарных отрезков точками . А каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками, так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения.

Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точке Тогда этот предел называется определённым интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

При этом число называется нижним пределом, число – его верхним пределом; функция - подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, а задача о нахождении – интегрированием функции на отрезке .