50. Связь дифференциала и производной

Найдем дифференциал функции  . В этом случае  и, следовательно,  . Таким образом, дифференциал  независимой переменной  совпадает с ее приращением Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную  можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения   приращение функции можно представить в виде , где – бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции   существует дифференциал   в некоторой точке  то эта функция имеет производную в точке   и  .

Действительно, имеем  , и так как   при , то  .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

50. Свойства дифференциалов

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

50. Таблица дифференциалов

50. Теоремы о первообразных функции

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке если в каждой точке x этого промежутка

Теорема 1.

 Пусть - некоторая первообразная для   на интервале  и C - произвольная постоянная. Тогда функция   также является первообразной для   на  .

Теорема 2.

Если и – первообразные для функции    на некотором промежутке , то найдётся такое число , что будет справедливо равенство .

50. Определение и свойства неопределённого интеграла

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается , где - знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, - подынтегральное выражение. Таким образом, , где - некоторая первообразная для , C – произвольная постоянная.

Свойства:

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть ;

2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть ;

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть , где - произвольное число;

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть ;

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

50. Таблица простейших неопределённых интегралов

50. Метод подстановки вычисления неопределённого интеграла

Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Иногда удобнее делать подстановку не , а , где - функция, имеющая непрерывную производную (то есть непрерывно дифференцируема). Применяя такую подстановку к интегралу , получим ещё одну формулу замены переменной

Подсказки:

1. Если под знаком интеграла стоит сложная функция , то как правило, используется подстановка .

2. Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции , то есть выражение , то имеет смысл попробовать подстановку . Поэтому следует запомнить следующие формулы:

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

•