17. Бином Ньютона

Бином Ньютона, название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

, где  - целое положительное число,   - какие угодно числа.

49. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке

Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале Тогда на интервале найдётся такая точка что .

Доказательство теоремы Лагранжа.     Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика  на отрезке   хордой. Конечные приращения   и  - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда. 

О тношение конечных приращений   и  - это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке   касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной   (  ) будет равен углу наклона хорды   (  ). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки   и   - это график линейной функции Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно,

 , то

(мы учли то, что график линейной функции проходит через точку .

Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию  , то есть .

Заметим, что   и   (по построению функции ). Так как линейная функция  дифференцируема при всех , то функция  удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что .

Заметим теперь, что

Значит, равенство   можно переписать в виде

50. Правило Лопиталя раскрытия неопределённости

Первое правило Лопиталя. Пусть функции дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки, и для всех , . Тогда если (в этом случае говорят, что в точке имеет место неопределённость вида ) и существует , то существует и причём .

Второе правило Лопиталя. Пусть функции дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой этой точки, и для всех , . Тогда если (то есть в точке имеет место неопределённость вида ) и существует , то существует и причём .

50. Понятие о дифференциале функции

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

50. Геометрический смысл дифференциала функции

В ыясним геометрический смысл производной. Для этого проведём к графику функции в точке касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке . Из прямоугольного треугольника имеем имеем: .

Но согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому

Получаем , то есть дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

Или

Р ассмотрим функцию   и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку  , проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной  приращение Δx, тогда функция получит приращение . Значениям   на кривой  будет соответствовать точка

Из  находим  . Т.к. а  то  . Но по определению дифференциала  , поэтому  .

Таким образом, дифференциал функции , соответствующей данным значениям , равен приращению ординаты касательной к кривой в данной точке .