1. Понятие множества, элемента множества.

Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества. Примерами множеств являются: множество студентов данного вуза, множество натуральных чисел и т.д.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы - строчными. Например, а есть элемент множества А

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø. Например, множество действительных корней уравнения х² + 1 = 0 есть пустое множество.

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается B ⊆ A.

Если А⊆В и А В, то А называют строгим или истинным подмножеством В и обозначают  .

Если, например, А – множество всех студентов вуза, а В – множество студентов 1 курса, то В является подмножеством А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех де элементов.

Объединением двух множеств А и В называется множества С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, то есть С=А В.

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, то есть D=А В.

Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, то есть Е=А\В.

Дополнением множества А⊆В называется множество А^с, состоящее из всех элементов множества В, не принадлежащий А.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми (R – действительных чисел, Q – рациональных, I – иррациональных, Z – целых, N – натуральных). N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R, I ⊆ R и Q I.

2. Конечные и бесконечные множества.

Конечное множество - множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества.

Бесконечное множество - множество, не являющееся конечным. 

Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: a₁, a₂, ..., a_n, причем все элементы будут занумерованы, все числа от 1 до n будут использованы и различные элементы получат различные номера. Бесконечное же множество такое, элементы которого так "пересчитать" нельзя.

3. Свойства операций объединения и пересечения множеств.

1) переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

2)   Сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

3 )

4)     

5)

6) распределительные законы (дистрибутивность):

                 

7) законы включения:

 

4. Прямое произведение множеств

Декартовым (прямым) произведением множеств и (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар таких, что . В частности, если , то обе координаты принадлежат множеству такое произведение обозначается . Аналогично, прямым произведением множеств  называется множество всех векторов длины n, таких, что .

Прямым произведением  множеств называется совокупность всех упорядоченных  таких, что  Если то пишут

Пример:

1. Пусть  ,   Тогда ;

2. Пусть  – множество точек отрезка а  – множество точек отрезка Тогда   - множество точек квадрата   с вершинами в точках ,