2. Работа в аудитории

2.1. Анализ примеров

Пример 1. Рассмотрим одноконтурную систему, приведенную на рис. 6

Рис 6. Операторное представление одноконтурной системы

с передаточной функцией

. (1)

Построить для нее контур на p-плоскости и отобразить его с помощью .

Решение. Контур на p-плоскости при , и имеет вид, показанный на рис. 7, а его отображение с помощью функции (1) – на рис.8.

Рис. 7. Контур на p-плоскости

Рис. 8. Отображение p-контура с помощью функции

Построение этого отображения при указанных значениях , и производится путем определения значений модуля и аргумента частотной характеристики

.

Умножая числитель и знаменатель на величину, комплексно-сопряженную знаменателю, представим комплексный коэффициент передачи в виде

.

Подставляя в полученное выражение заданные значения , и , получим

. (2)

Результаты вычисления при различных значениях сведены в таблицу.

	0	0.1	0.76	1	2	10	20	100
	100	96	79.6	70.1	50.2	6.8	2.24	0.1	0
	0	–5.7	–41.5	–50.7	–74.7	–129.3	–150.5	–173.7	–180

Положительная часть мнимой оси отображается в сплошную кривую, а отрицательная – в пунктирную. Полуокружность бесконечного радиуса на p-плоскости отображается в начало координат на -плоскости.

Поскольку не имеет полюсов в правой полуплоскости (P = 0), то для устойчивости системы необходимо выполнение условия , т.е. контур на -плоскости не должен охватывать точку –1. Из выражения (2) и рис. 8 следует, что ни при каких значениях К контур не охватывает точку –1 (она соответствует значению , а ), т.е. система устойчива всегда.

Пример 2. Пусть теперь передаточная функция замкнутой системы равна

.

Построить для нее контур на p-плоскости и отобразить его с помощью .

Решение. Комплексный коэффициент передачи такой системы есть

. (2)

Изображение контура на p-плоскости приведено на рис. 9.

Рис. 9. Изображение контура на p-плоскости

В начале координат контур проходит по окружности радиуса , , поскольку согласно теореме Коши контур не должен проходить через полюс.

Отображение этого контура на -плоскость приведено на рис. 10.

Рис. 10. Отображение контура на -плоскости

Участок, соответствующий частотам , есть обычная частотная характеристика .

Рассмотрим построение контура по участкам.

1. Начало координат. Обход полюса в начале координат по дуге бесконечно малого радиуса можно описать функцией при , полагая, что изменяется от –90˚ при до +90˚ при . Поскольку , то отображение принимает вид:

.

Отсюда следует, что аргумент изменяется от 90˚ при до 0˚ при и до –90˚ при . Соответствующий участок контура изображается полуокружностью бесконечного радиуса. Отображение точек A, B и C исходного контура показано на рис. 10.

2. Участок от до отображается выражением (2) и представлен на рис. 11 участком между точками C и B. При

3. Участок от до описывается выражением

,

где изменяется от +90˚ при до –90˚ при , т.е. на контуре происходит скачок аргумента с –180˚ при на +180˚ при . Модуль же при равен нулю или постоянному значению.

4. Участок от до отображается с помощью при , т.е. . Поскольку есть функция, комплексно-сопряженная с , то соответствующий участок контура симметричен относительно действительной оси участку .

Система устойчива, только если (поскольку не имеет правых полюсов, т.е. , а это значит, что контур не должен охватывать точку –1. Из рис. 11 следует, что этого не произойдет ни при каких значениях K.

Из рассмотренного следует 2 вывода:

1. Участок контура для всегда симметричен участку , поэтому для анализа устойчивости достаточно построить контур только для положительных значений частоты.

2. Модуль при и всегда стремится к нулю или постоянной величине.

Пример 3. Пусть в одноконтурной системе, приведенной на рис. 11

Рис. 11. Операторное представление структурной схемы одноконтурной системы

передаточная функция замкнутой системы равна

.

Контур Найквиста для этого случая имеет вид, показанный на рис. 12.

Рис. 12. Годограф Найквиста для

Начало координат p-плоскости по-прежнему отображается в полуокружность бесконечного радиуса, а полуокружность ( ) – в точку .

Поскольку и симметричны относительно действительной оси, достаточно построить участок контура , соответствующий частотной характеристике для :

Отсюда видно, что при , а . Точно также при

Таким образом, при , т.е. годограф должен пересечь действительную ось. Очевидно, степень устойчивости системы будет зависеть от того, в какой именно точке оси произойдет это пересечение, т.е охватит ли годограф точку –1 или нет. Для определения точки пересечения сначала приравняем нулю мнимую часть частотной передаточной функции

.

Равенство нулю этого выражения имеет место при или .

Теперь подставим полученное значение в действительную часть частотной характеристики

.

Таким образом, система устойчива, если или .

Например, при система будет устойчивой при , а ее передаточная функция равна

.

Пример 4. Пусть передаточная функция системы, приведенной на рис. 11, в замкнутом состоянии равна

.

Ее частотная характеристика имеет вид:

.

Отсюда видно, что всегда отрицателен и не превышает (т.е. находится во втором квадранте), следовательно, годограф находится выше действительной оси.

При , а при . При обходе начала координат p-плоскости по бесконечно малому радиусу (т.е. ) получаем

где . Поэтому контуру соответствуют аргументы при и при , а при контур дополняется окружностью бесконечного радиуса, как показано на рис. 13.

Рис.13. Отображение контура Найквиста для функции

Контур дважды охватывает точку на действительной оси, поэтому система неустойчива при любых значениях K.

Пример 5. Пусть система, приведенная на рис. 11 имеет передаточную функцию

,

имеющую один полюс в правой полуплоскости, т.е. для нее число полюсов в правой полуплоскости . Следовательно, -контур должен один раз охватить точку в направлении против часовой стрелки. При обходе начала координат p-плоскости, как и ранее, полагаем , и при этом

.

Следовательно, соответствующий участок контура есть левая полуокружность бесконечного радиуса, как показано на рис. 14.

Рис.14. Отображение контура Найквиста для функции

Частотная передаточная функция разомкнутой системы равна

.

Наконец для полуокружности радиуса имеем

,

где угол изменяется от до по часовой стрелке, т.е. в начале координат -плоскости аргумент скачком изменяется на против часовой стрелки как показано на рис. 15. Узловые точки, необходимые для построения годографа, приведены в таблице.

				0	0

Контур единожды охватывает точку –1 на -плоскости по часовой стрелке, т.е. N = 1. Тогда и система неустойчива независимо от величины .

Проведем коррекцию системы, введя в нее дифференцирующее звено таким образом, чтобы передаточная функция разомкнутой системы приобрела вид

,

где .

Участок контура в начале координат, т.е. при аналогичен рассмотренному выше, однако при и получим

,

т.е. аргумент контура в начале координат изменяется скачком на радиан против часовой стрелки.

Годограф определяется выражением

.

Для определения точки пересечения с действительной осью приравняем мнимую часть нулю:

,

откуда . Этому значению соответствует значение действительной части частотной характеристики, равное

.

Если (т.е. ), то контур один раз охватывает точку –1 против часовой стрелки, т.е. , число корней в правой полуплоскости

и система становится устойчивой. Годограф скорректированной системы приведен на рис. 15.

Рис. 15. Годограф скорректированной системы

Пример 6. Пусть передаточная функция системы, приведенной на рис. 11, имеет вид

.

Частотная передаточная функция в этом случае представляется как

Отсюда при получаем

.

Точно также при

,

а при .

Годограф Найквиста для этого случая приведен на рис. 16.

Рис. 16. Годограф Найквиста

Пример 7. Исследовать устойчивость системы с характеристическим полиномом

по критерию Михайлова.

Решение. Подставляем и находим вещественную и мнимую функции Михайлова:

откуда получаем выражения для действительной и мнимой частей

Построим годограф Михайлова. Для этого определим значения базовых точек годографа

	0	1	2
	3	1	–5
	0	8	10

Годограф приведен на рис. 17.

Рис. 17. Годограф Михайлова

Как видно годограф обходит три квадранта против часовой стрелки, начинаясь на вещественной положительной полуоси, следовательно, система устойчивая.

Пример 8. Исследовать устойчивость системы с передаточной функцией

по критерию Найквиста (характеристический полином взят из предыдущего задания).

Решение. Сделаем замену и выделим действительную и мнимую части комплексного коэффициента передачи:

,

.

Построим частотный годограф (годограф Найквиста). Значения базовых точек приведены ниже:

Построенный по этим точкам годограф приведен на рис 18. Так как разомкнутая система устойчивая и частотный годограф не охватывает точку с координатами , следовательно, замкнутая система тоже устойчивая.

Рис. 18. Годограф системы