3 семестр экзамен / Ekzamen_Linal / 3 раздел / 3_9_-_3_18

3.9 Унитарный(ортогональный) оператор. Критерии унитарности.

Опр. 3.1 Линейный оператор , действующий в унитарном пространстве (евклидовом пространстве ), называется унитарным (ортогональным), если . Квадратная матрица называется унитарной (ортогональной), если .

Из определения вытекает:

1) Если – унитарный ⟹ нормальный ⟹ выполняются все свойства нормального оператора.

2) – унитарный ⟺ в любом ОНБ - унитарна.

∎ В ОНБ .

- унитарна ⟺ ⟺ по теореме 1.5 в ОНБ ⟺ . ∎

Теорема 3.1 (Критерий унитарности)

В конечномерном унитарном (евклидовом) пространстве следующие утверждения равносильны:

1) - унитаный (ортогональный);

2) ;

3) ;

4) - сохраняет скалярное произведение;

5) - сохраняет длину, т.е. ;

6) переводит ОНБ в ОНБ.

∎ 1) ⟹2), 1) ⟹ 3) – очевидно.

2) ⟹1)

⟹ - невырожденный ⟹ ⟹ 1).

3) ⟹ 1) аналогично.

1) ⟹ 4)

.

4) ⟹ 1)

.

4) ⟹ 5)

.

5) ⟹ 4) (п.9, раздел 2):

.

4) ⟹ 6)

Пусть - ОНБ ,

⟹ – ОНБ.

6) ⟹ 4)

Пусть ОНБ в ОНБ , :

. ∎

Следствие 1. – унитарен ⟺ - унитарен.

Следствие 2. - унитарные операторы ⟹ - унитарный.

∎ 1) ⟹ - унитарный.

⟹ - унитарный.

2) ⟹ - унитарный.

3.10 Унитарные(ортогональные) матрицы, св-ва. Матрица перехода от ОНБ к ОНБ.

Теорема 3.2 (Свойства унитарных (ортогональных) матриц)

Пусть - унитарная (ортогональная) матрица, т.е. , тогда

1) ;

2) ;

3) столбцы (строки) матрицы образуют ОНБ пространства .

∎ 1) ⟸ из определения обратной и унитарной матриц.

2) .

3) ,

⟺ ,

⟹ строки (столбцы) образуют ОНБ в арифметическом пространстве . ∎

Лемма 3.3

Условие 3) является не только необходимым, но и достаточным условием, т.е. - унитарная матрица ⟺ строки (столбы) образуют ОНБ в арифметическом пространстве .

∎ «⟸». Положим : ,

. Положим : .

⟹ - унитарна. ∎

Следствие.

Матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ в унитарном (евклидовом) пространстве унитарна (ортогональна).

∎ – ОНБ,

, т.к. обратная матрица единственна, то . Следовательно, - унитарная матрица. ∎

3.11 Спектральная теорема для нормальных операторов и матриц.

Теорема 4.1

1) Линейный оператор , действующий в унитарном пространстве есть нормальный оператор ⟺ для него существует базис из собственных векторов.

2) Матрица - нормальная матрица ⟺ существует унитарная матрица , столбцами которой являются собственные векторы матрицы , приводящая матрицу в диагональному виду: .

∎ 1) «⟹» Пусть - нормальный оператор.

- характеристический многочлен оператора (совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе). Характеристический многочлен имеет хотя бы один корень , следовательно, существует хотя бы один собственный вектор . Пусть и . Тогда по Т 2.1(п.5) - инвариантно относительно .

Рассмотрим

Продолжим процесс:

, где - ортонормированная система векторов, они образуют ОНБ в .

«⟸» Оператор имеет ОНБ из собственных векторов. Тогда матрица оператора в этом базисе имеет диагональный вид. Тогда тоже имеет диагональный вид и . Диагональные матрицы перестановочны ⟹ ⟹ перестановочны операторы ⟹ - нормальный оператор.

2) «⟹» Пусть - нормальная матрица: ;

- произвольный ОНБ ;

- нормальный оператор: .

Из 1) ⟹ ОНБ из собственных векторов оператора и имеет в диагональный вид: .

- матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ ⟹ - унитарная матрица: ⟹ .

«⟸» Пусть , где - унитарная матрица. .

Докажем, что - нормальная матрица.

,

,

.

- диагональная матрица: - нормальная матрица. ∎

3.12 Самосопряженные операторы, св-ва. Эрмитовые (симметрические) матрицы.

Опр. 5.1

Линейный оператор , действующий в унитарном (евклидовом) пространстве называется самосопряженным, если . Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитовым, в евклидовом – симметрическим. Квадратная матрица называется самосопряженной, если , т.е. . Комплексную самосопряженную матрицу называют эрмитовой, вещественную – симметрической.

Теорема 5.1 (свойства самосопряженных операторов)

1) Самосопряженный оператор – нормальный (⟹ удовлетворяет свойствам нормальных операторов Т2.1).

2) Все собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

3) - самосопряженный оператор ⟺ в любом ОНБ - эрмитова матрица.

4) .

∎ 1) ⟹ - нормальный оператор.

2) .

3) - эрмитова матрица, т.е. ⟺ в любом ОНБ .

4) . ∎

3.13 Связь между нормальным, самосопряженным и унитарным оператором.

Теорема 5.2

1) – самосопряженный оператор ⟺ - нормальный оператор и все собственные значения этого оператора вещественны.

2) 𝒰 - унитарный оператор ⟺ 𝒰 – нормальный оператор и все собственные значения по модулю равны единицы, т.е.

∎ 1) «⟹» Т 5.1

«⟸» - нормальный оператор; .

Из основной спектральной теоремы ⟹ существует ОНБ из собственных векторов: .

,

.

2) «⟹» - унитарный ⟹ – нормальный. .

«⟸» 𝒰 – нормальный оператор и существует ОНБ из собственных векторов: .

⟹ – унитарный. ∎

3.14 Спектральная теорема для самомопряженных операторов и эрмитовых (симметрич.) матриц

Теорема 6.1

Линейный оператор, действующий в унитарном пространстве самосопряжен ⟺ существует ОНБ из собственных векторов и все собственные значения – вещественны.

∎ «⟹» - самосопряженный ⟹ по Т5.2 - нормальный и ⟹ по Т4.1 (основная спектральная теорема) существует ОНБ из собственных векторов.

«⟸» Существует ОНБ из собственных векторов ⟹ по Т4.1 - нормальный и ⟹𝒜 – самосопряженный. ∎

Теорема 6.2

Матрица - эрмитова ⟺ все собственные значения матрицы вещественны и существует унитарная матрица , столбцы которой – собственные векторы матрицы , отвечающие собственным значениям .

∎- эрмитова матрица ⟺ для любого ОНБ - самосопряжен ⟺ - нормален и ⟺ - нормальная матрица и ⟺ – унитарная матрица. ∎

Замечание. Теоремы 6.1, 6.2 верны и для евклидова пространства.

Теорема 6.3 - унитарный ⟺ существует ОНБ из собственных векторов и .

∎ «⟹» – унитарный ⟹ - нормальный и ⟹ существует ОНБ из собственных векторов.

«⟸» Существует ОНБ из собственных векторов ⟹ - нормальный и ⟹ – унитарный. ∎

3.15 Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц

Теорема 6.3

- унитарный ⟺ существует ОНБ из собственных векторов и .

∎ «⟹» – унитарный ⟹ - нормальный и ⟹ существует ОНБ из собственных векторов.

«⟸» Существует ОНБ из собственных векторов ⟹ - нормальный и ⟹ – унитарный. ∎

Теорема 6.4

Матрица - унитарна ⟺ существует унитарная матрица .

∎ - унитарна ⟺ в любом ОНБ - унитарный оператор ⟺ - нормальный и ⟺ существует унитарная матрица .∎

3.16 Положительно определенные операторы. Представление невырожденного оператора в виде произведения самосопряженного и унитарного операторов.

Определение 8.1 Самосопряженный оператор называется положительно определенным, если для и неотрицательно определенным, если .

Пусть в задан ОНБ: , тогда - эрмитова квадратичная форма от переменных , причем, если - положительно определен, то положительно определена (аналогично для неотрицательно определенного оператора ).

Теорема 8.1 - самосопряженный оператор является положительно определенным (неотрицательно определенным) ⟺ все его собственные значения положительны (неотрицательны): .

∎ - самосопряженный оператор ⟺ существует ОНБ из собственных векторов и . ∎

Пусть – положительно определенный оператор (неотрицательно определенный), существует ОНБ из собственных векторов и . Положим и определим линейный оператор ⟹ - самосопряженный оператор, , и положительно определенный (неотрицательно определенный).

Определение 8.2 Положительно определенный оператор , связанный с равенством , называется арифметическим корнем из оператора и обозначается .

Теорема 8.2 Для любого есть неотрицательно определенный оператор и, если - невырожденный, то и - невырожденный оператор.

∎ 1) ⟹ - самосопряженный оператор; ⟹ неотрицательно определенный оператор.

2) Пусть - невырожденный ⟺ - обратим ⟹ матрица оператора в любом базисе невырожденная ⟹ в любом ОНБ ⟹ - невырожденная ⟹ оператор невырожденный ⟹ оператор невырожденный. ∎

Теорема 8.3 Всякий невырожденный линейный оператор может быть представлен в виде (или ), где - положительно определенный оператор, - унитарный оператор.

∎ Пусть - невырожденный оператор ⟹ невырожденный положительно определенный оператор. Положим ⟹ невырожденный положительно определенный оператор. Положим . Покажем, что – унитарный: ( положительно определенный ⟹ самосопряженный). ∎

3.17 Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду

Пусть в унитарном (евклидовом) пространстве задана эрмитова квадратичная форма .

Теорема 7.1 Любая эрмитова квадратичная форма с матрицей при помощи некоторого унитарного преобразования переменных , где - унитарная матрица, может быть приведена к каноническому виду: , где и с точностью до порядка определены матрицей однозначно (они совпадают с собственными значениями матрицы ). Столбцы унитарной матрицы - нормированные собственные векторы матрицы , отвечающие собственным значениям .

∎ Рассмотрим полярную полуторалинейную форму к эрмитовой форме . определена однозначно (п.9, раздел 2). Для любой существует единственный линейный оператор и в любом ОНБ (п.7, раздел 3). - эрмитова полуторалинейная форма ⟺ ⟹

, т.е. ⟹ - самосопряженный оператор: .

Рассмотрим . Согласно спектральной теореме для самосопряженных операторов (Т6.1) существует ОНБ из собственных векторов оператора .

.

.

Матрица унитарна, как матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ. Рассмотрим матрицу : . ⟹ . ∎

Замечание. В евклидовом пространстве: .

3.18 Одновр. приведение к канонич. виду пары квадр. форм

и эрмитовы квадратич. формы . Найдем невырожденное преобразование координат, одновременно приводящее эрмитовы квадратич. формы к канонич. виду.

Теор.9.1 (достаточное условие разрешимости поставленной задачи) Пусть и эрмитовы квадратичные формы в комплексном пространстве, причем . Тогда существует базис , в котором и имеют канонич. вид: где .

∎ Рассм. полуторалинейную форму , полярную к эрмитовой квадратич. форме . В введем скалярное произведение с помощью . Рассм. с введенным скалярным произведением – это унитарное пространство. Тогда сущ. унитарное преобразование (п.7), приводящее эрмитову квадратич. форму к канонич. виду: . Т.к. – унитарная матрица (⟺ матрица перехода от одного ОНБ к другому ОНБ) ⟹ - ОНБ и , где .∎

Опр. 9.1 Пучком квадратич. форм, определенным парой и , называется совокупность форм , где - параметр. Если , то пучок называется регулярным.

Опр 9.2 Пусть и - матрицы и в некотором базисе. Уравнение называется характеристическим уравнением пучка .

Если - какой-нибудь корень характеристич. уравнения, то .

Опр 9.3 Число , удовлетв. характеристич.уравнению пучка, называется собственным значением пучка, называется главным вектором пучка.

Теор 9.2 Пусть и - эрмитовы квадратич. формы, . Тогда существует невырожденное преобразование: с матрицей , где - главные векторы – столбцы пучка , ормированные в смысле скалярного произведения ( - полярная полуторалинейная форма к эрмитовой форме ), т.е. , приводящее эрмитовы квадратич. формы к канонич.виду:, - собственные значения пучка , соответствующие столбцам матрицы .

Замеч. Теорема 9.2 сформулирована для эрмитовых квадратичных форм. Док-во проведем для квадратичных форм в евклидовом пространстве.

∎1) Покажем, что все пучка вещественны и им соответствует линейно независимых главных векторов : , которые могут быть выбраны так, что .

Рассмотрим . Обозначим Т.к. – положительно определенная квадратичная форма ⟹ матрица – положительно определена. Рассмотрим матрицу :.

,

но - симметрические матрицы ⟹ - симметрическая ⟹ существует ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные векторы-столбцы матрицы и .

Док., что - собственный вектор матрицы .

Подействуем , т.е. – собственный вектор матрицы и . Векторы могут быть выбраны так, что:

.2) Рассмотрим . Покажем, что :

.∎