3 семестр экзамен / Ekzamen_Linal / 3 раздел / 3_1-3_5

3.1 Опр. и примеры евклидовых и унитарных пространств. Линейные нормированные пространства. Нер-во Коши-Буняковского. линейные нормированные пространства. Нер-во треугольника.

Опр. 1.1 Пусть - вещественное или комплексное ЛП. Отображение ( или) наз-тся скалярным произведением, если

1) 2)

3)4)

Число называется скалярным произведением; 1) – 4) – аксиомами скалярного произведения. Вещественное ЛП со скалярным произведением наз-ся евклидовым пространством: ; комплексное ЛП со скалярным произведением наз-ся унитарным пространством: .

Примеры:1)

2)

3)

Простейшие св-ва скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

■ 3) . 4) «⟸» 3)«⟹». ■

Теорема 1.1 (неравенство Коши – Буняковского) Для или . ■ Пусть :

.

Т.к. , пусть .

Тогда . ■

Опр 1.2 Линейное комплексное прост-во наз-тся линейным нормированным простр-вом, если для ставится в соответствие веществ. число , назыв.нормой указанного элемента, при этом норма удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ;

2) - однородность нормы;

3) – неравенство треугольника.

Примеры: 1) - длина .

2)

Теорема 2 Всякое унитарное пр-во является нормиро-ванным, если в нем определить норму: .

■1) (аксиома 4),

2) ,

3)

(неравенство Коши Буняковского) . ■

Замечание 1) (неравенство Коши – Буняковского).2) Введем функцию – расстояние между и : 1) , 2) , 3) .

Теорема 1.3 Нер-во: .

■ ;

,

. ■

3.2 Общий вид скалярного произведения в евклидовом и унитарном пространстве. Матрица Грама.

Пусть – базис в .

,

.

Обозначим: .

Рассмотрим матрицу .

Определение 2.1 Матрица называется матрицей Грама системы векторов :

.

Запись называется общим видом скалярного произведения в унитарном пространстве.

Замечание1) Т.к. – эрмитова матрица.

2) - евклидово пространство: - симметричная матрица и - общий вид скалярного произведения в евклидовом пространстве.

Теорема 2.1 Пусть и базисы в . Тогда .

■ . ■

3.3 Ортогональные вектора. Ортонормированный базис (ОНБ). Ортогонализация Шмидта.

Опр 3.1 Эл-ты наз-тся ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю: .

Замечание 1. Нулевой элемент , и только нулевой, ортогонален любому вектору пространства.

Опр 3.2 Система векторов унитарного пространства наз-ся ортонормированной (ОНС), если (символ Кронекера).

Теорема 3.1 Ортогональная система ненулевых векторов - линейно независима. ∎ Пусть ортогональная система. Достаточно д-ть, что равенство достигается только при . Умножим скалярно на , т.к. .∎

Следствие 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Следствие 2. В - мерном пространстве любая ОНС из векторов образует базис.

Теорема 3.2 В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе вычисляются по правилу тогда и только тогда, когда - ортонормированный базис.

∎ «⟹» Пусть . Тогда - тоже вычисляются по этому же правилу. Следовательно, .

«⟸» Пусть - ОНБ, следовательно, из линейности скалярного произведения ⟹ .∎

Теорема 3.3 В унитарном пространстве скалярное произведение векторов и вычисляется по правилу тогда и только тогда, когда - ОНБ.

∎ «⟹» .

«⟸» В силу линейности скалярного произведения. ∎

Замечание 2. В евклидовом простр-ве .

Теорема 4.1 (Шмидта об ортогонализации) Пусть в унитарном пространстве задан произвольный базис . Тогда в существует ОНБ , который можно построить следующим образом: , где .

∎ Построение ОНБ методом математической индукции.

, т.к. система линейно независима.

Пусть в унитарном пространстве , размерности , существует ОНБ и , .

Докажем, что в унитарном пространстве размерности существует ОНБ. Пусть - произвольный базис . – линейная оболочка - есть унитарное –мерное пространство. Следовательно, по предположению индукции в нем существует ОНБ , удовлетворяющий условиям теоремы. Рассмотрим вектор - линейная комбинация . Т.к. линейно независимы, ⟹, . Числа подберем так, чтобы . Умножим на :

Положим . Следовательно, образуют базис в .∎

Следствие. Во всяком –мерном пространстве существует ОНБ.

3.4 Ортогональное дополнение. Теорема о представлении унитарного пространства в виде прямой суммы линейных подпространств.

Опр 5.1 Пусть – линейное подпространство унитарного (евклидова) пространства: . Вектор наз-ся ортогональным к подпространству , если он ортогонален :

.

.

Опр 5.2 Подпространства и наз-ся ортогональными .

Опр 5.3 Совокупность всех векторов , ортогональных подпространству , наз-ся ортогональным дополнением к до пространства и обозначается :

.

Теорема 5.1 Ортогональное дополнение является линейным подпространством.

∎ . ∎

Теорема 5.2 .

∎ Пусть . ∎

Теорема 5.3 Унитарное пространство есть прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения ,т.е. .

∎ Пусть Если ⟹ - тривиальное подпространство. – ОНБ в . Дополним его до базиса (по теореме о неполном базисе): . Ортонормируем систем (теорема Шмидта) ⟹ получим ОНБ в . Покажем, что .

, т.к. – ОНБ в ⟹ .

Обратно: , где .

Т.к. . ∎

3.5 Линейная форма в линейном пространстве. Сопряженное пространство и его размерность. биортогональный базис. Представление линейной формы в унитарном (евклидовом) пространстве.

Теорема 6.1 - унитарное пространство. Для любой линейной формы в унитарном пространстве существует, и притом единственный, вектор такой, что .

∎ Пусть - ОНБ в , - коэффициенты линейной формы в базисе , т.е. .

.

Рассмотрим , тогда

.

Следовательно, - удовлетворяет условию .

Докажем единственность.

Пусть . ∎

- пространство, сопряженное к .

В определим функционалы . Их достаточно определить на базисных векторах:

.

Покажем, что образуют базис в .

∎1) ⟹ их .

2) Докажем линейную независимость.

- нулевой функционал: .

Положим ⟹ линейно независимы ⟹ образуют базис.∎

Опр 6.1 наз-ся биортогональным базисом к базису .