3 семестр экзамен / Ekzamen_Linal / 3 раздел / 3_6-3_8

3.6 Представление полуторалинейной (билинейной) формы в унитарном (евклидовом) пространстве с помощью линейного оператора.

- унитарное пространство. - пространство линейных операторов из в .

Теорема 7.1 Для любой полуторалинейной (билинейной) формы в унитарном (евклидовом) пространстве существует единственный линейный оператор такой, что , причем матрица полуторалинейной формы (билинейной формы ) и матрица оператора в произвольном ОНБ связаны соотношением:

∎ Доказательство проведем для полуторалинейной формы.

1) Возьмем и зафиксируем . Тогда - линейная форма аргумента . Следовательно, . Таким образом построили отображение: . Следовательно, задали оператор .

Покажем, что построенный оператор линеен. .

.

2) Докажем единственность. Пусть .

3) . ∎

3.7 Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного оператора.

Опр 1.1 Оператор , действующий в унитарном пространстве , наз-ся сопряженным к линейному оператору , если .

Пример. - фиксирован.

.

Теорема 1.1 Для любого линейного оп-ра существует и притом единственный сопр. оператор, при этом он так же линеен, т.е. .∎ Обозначим - полуторалинейная форма в , => существует единственный линейный оператор, который обозначим. ∎

Лемма 1.2 Если и , то . ∎. ■

Теорема 1.3 Свойства сопряженных операторов:1) ;

2) ; 3) ;4) ;

5) ;6) выполнены для любых оп-в, для которых определены указанные операции.∎ . 1) . 2)

. 3)

.

4)

.

5) .

6).∎

Теорема 1.4 (Матрица сопряженного оператора в ОНБ)

Пусть - ОНБ в .Тогда,т.е..∎.

,

, ⟹ . ∎

Опр 1.2 Матрица , удовлетворяющая условию , наз-ся сопряженной по отношению к .

Следствия. 1) ; .

2)

Если - собственные значения алгебраической кратности , то - собственные значения оператора алгебраической кратности .

Теорема 1.5 Пусть - ОНБ в . Тогда - оператор, сопряженный к тогда и только тогда, когда .∎ «⟹» - оператор, сопряженный к , следовательно, в ОНБ «⟸»- матрица, соп-ная к : . Поставим матрицам в соответствие операторы: ...∎

Теорема 1.6 (Ядра и образы операторов и )Для .

∎

С другой стороны: . Второе аналогично. ∎

Теорема Если подпр-тво инвариантно относительно , то его ортогональное дополнение - относительно:∎. ∎

3.8Нормальный оператор. Нормальная матрица. Свойства нормального оператора. Матрица нормального оператора в ОНБ.

Опр 2.1 Оператор наз-ся нормальным, если . Матрица наз-ся нормальной, если .

Теорема 2.1 (Свойства нормальных операторов) Пусть – нормальный оператор, тогда

1) ;

2) ;3) Если - собственный вектор линейного оператора , отвечающий собственному значению , то - собственный вектор , отвечающий собственному значению .4) Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.5) - собственный вектор , то , где - линейная оболочка , - ортогональное дополнение к . Кроме того и – инвариантные подпространства относительно .∎ 1) .

2) ⟸ 1).

3) .

a) Покажем, что, если - нормальный, то - нормальный, т.к.

.

b) - собственный вектор линейного оператора т.к. - нормальный оператор (свойство 2):

⟹

⟹ - собственный вектор , отвечающий собственному значению .

Следствие 1. Если - нормальный оператор, то , т.к. нетривиальные векторы являются собственными векторами, отвечающие собственному значению .

Следствие 2. Если - нормальный оператор, то .

4) Пусть .

⟹

.

5) , - собственный вектор , отвечающий собственному значению . - линейное подпространство. По теореме о разложении унитарного пространства в прямую сумму:

.

Докажем инвариантность относительно и .

.

.

;

. ∎

Теорема 2.2 Оператор нормален ⟺ в ОНБ - нормальная матрица.

∎ – ОНБ в .

- нормальная матрица ⟺ ⟺ (по теореме 1.5) ⟺ ⟺ – нормальный оператор. ∎