14. Позиционные сисемы счисления : представление и правила перевода целых отрицательных чисел в произвольных позиционных системах счисления

позиционной системой счисления называется система представления чисел, в кот количественное значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от места, то есть позиции, в ряду цифр, изображающих число. В каждой ПСС используется определенный набор символов, последовательная запись которых обозначает число. Совокупность этих цифр, используемых в ПСС для записи чисел, называется алфавитом системы счисления или базой.

Существуют различные ПСС. Возможно бесчисленное множество ПСС, тк за основание можно принять любое число, образовав новую СС. В ПСС различают понятие базиса СС – послед-ть чисел, каждое из которых показывает, во сколько раз меняется значение цифры в зависимости от ее месторасположения. Название СС с натуральным основанием соответствует ее основанию, которое задается в десятичной СС(например, десятичная, двоичная, восьмеричная)

ПСС, в кот для всех разрядов числа используется одинаковое основание называются однородными. Применяются так же ПСС, в кот в кач-ве базиса успользуется некая числовая послед-ть, но она не является геометрической прогрессией. Такие СС называют неоднородными. Например фибоначчиевая СС (в кач-ве базиса используются числа послед-ти Фибоначчи 1,2,3,5,8,13..)

При представлении чисел в ПСС с любым основание для однородных СС нулевому разряду соответ-ет младший разряд целой части числа. Номер каждого следующего разряда числа, расположенного слева от запятой уменьшается на единицу. Номер разряда показывает, в какую степень надо возвести основание СС.

В любой ПСС с натуральным основанием число равное основанию системы записывается в виде 10, тк основание есть единица первого разряда, но надо помнить что эта 10 имеет различное кол-венное значение в различных СС.

15. Связь информационной емкости двоичного кода и динамического диапазона представления целых чисел

Информационная емкость двоичного кода - количество состояний, каждое из которых может приобретать двоичный код определенной длины.

И.е.д.к. длиной K бит равна 2 в степени K. Это очевидно, если рассматривать двоичный код как целое число без знака.

16) Экономичность систем счисления.

Число в системе счисления p с k разрядами, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, т.е. равными p – 1. Тогда

(Zp)^max = <p – 1> … <p – 1> = p^k – 1 , <p – 1> … <p – 1> – k цифр

Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется. Очевидно, если p =q^δ (δ– не обязательно целое), то (Z_p)^max = p^k – 1 =q ^δk – 1. Т.е. количество разрядов числа в системах счисления p и q будут различаться в δраз. Очевидно соотношение:

δ = log p / log q

При этом основание логарифма никакого значения не имеет, поскольку δ определяется отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 99₁₀ и его представлении в двоичной системе счисления: 99₁₀ = 1100011₂; т.е. двоичная запись требует 7 цифр вместо 2 в десятичной. δ= ln(10)/ln(2) = 3,322; следовательно, количество цифр в десятичном представлении нужно умножить на 3,322 и округлить в большую сторону: 2·3,322 = 6,644 ≈7.

Под экономичностью системы счисления будем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.

Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа. Поясним на примере: пусть в нашем распоряжении имеется 12 цифр. Мы можем разбить их на 6 групп по 2 цифры ("0" и "1") и получить шестиразрядное двоичное число; общее количество таких чисел, как уже неоднократно обсуждалось, равно 2⁶. Можно разбить заданное количество цифр на 4 группы по три цифры и воспользоваться троичной системой счисления – в этом случае общее количество различных их сочетаний составит 3⁴. Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе – основание системы счисления. Результаты различных разбиений можно проиллюстрировать таблицей:

Основание системы счисления (p)	Разрядность числа (k)	Общее количество различных чисел (N)
2	6	26 = 64
3	4	34 = 81
4	3	43 = 64
6	2	62 = 36
12	1	121 = 12

Из приведенных оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления, причем, результат будет тем же, если исследовать случаи с другим исходным количеством цифр.

Точное расположение максимума экономичности может быть установлено путем следующих рассуждений. Пусть имеется n знаков для записи чисел, а основание системы счисления p. Тогда количество разрядов числа k = n/p, а общее количество чисел (N), которые могут быть составлены, равно: N=p^n/p

Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти то значение p_m, при котором N принимает максимальное значение. Функция имеет вид, представленный на рисунке 1.

Рис.1. Зависимость количества чисел от основания системы счисления при использовании 12-ти возможных цифр для записи чисел.

Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно p.

dN/dp= – (n* p^n/p*ln p)/p² + (n* p^n/p-1)/p = (n* p^n/p-2)*(1- ln p)

Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем ln p = 1, или pm = e, где e=2,71828… – основание натурального логарифма. Ближайшее к e целое число, очевидно, 3 – по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел. В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина "Сетунь", которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, поскольку по экономичности она оказывается второй за троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных. Таким образом, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу применения двоичной системы в компьютерах.