Блок-схемы

Комбинаторные конфигурации наиболее общего вида были исследованы в 30-е годы XX столетия и были названы блок-схемами (block design). Блок-схемы состоят из наборов элементов, называемых блоками. Выбор элементов и пар элементов в блоки подчиняются определённым правилам.

Уравновешенной неполной блок-схемойназывается такое размещениеvразличных элементов поbблокам, что каждый блок содержит точноkразличных элементов, каждый элемент появляется точно вkразличных блоках и каждая пара различных элементовa_i , a_j появляется точно вблоках.

Множество всех сочетаний изvэлементов поk, взятых в качестве блоков, образует полную блок-схему. Часть этих сочетаний, в которых каждая параa_i, a_jпоявляется одно и то же число раз, является неполной, но уравновешенной блок-схемой. Между пятью параметрами блок-схемы выполняются следующие два соотношения:

bk = vr(1.10)r (k - 1) = (v - 1)(1.11)

Частным случаем блок-схем являются так называемые конечные плоскости. Выберем конечное множествоP. Элементы изPназовём точками. Некоторые подмножества изPназовём прямыми. Пусть отношение инцидентности между точками и прямыми удовлетворяет следующим геометрическим аксиомам.

1. На каждой прямой лежит n точекB.

2. Через каждую точку проходят nпрямых.

3. Любые две прямые пересекаются в одной точке.

4. Через любые две точки проходит единственная прямая.

5. Существуют 4 точки неколлинеарные по три.

Тогда конечное множество Pточек и множествоLпрямых образует конечную проективную плоскость.

Пример:P= {1,2,3, 4,5,6,7}.L= {l₁,l₂, l₃,l₄,l₅,l₆,l₇}l₁= {1, 2, 3},l₂= {3, 4, 5},l₃= {1, 5, 6},l₄= {1, 4, 7},l₅= {2, 5, 7},l₆= {3, 6, 7},l₇= {2, 4, 6}.

Размещения с повторениями (n различных элементов, элементы могут повторяться):

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться? 1) Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

Перестановки c повторениями (k различных элементов, где элементы могут повторяться m₁, m₂, …, m_k раз и m₁ + m₂ + … + m_k = n, где n - общее количество элементов):

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза? 1) Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.

2) Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.

Сочетания c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться):

Пример. Возьмем плоды: банан (Б), ананас (А) и репа (Р). Какие сочетания из этих плодов, взятых по два, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) плоды в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковых плода? 1) Получатся наборы: БА ("банан, ананас" и "ананас, банан" - один и тот же набор), АР и РБ.

2) Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

Вопросы

1. Приведите примеры множеств и их подмножеств. 2. Проиллюстрируйте примерами "из жизни" пересечение, объединение и разность множеств. 3. Постройте диаграммы Эйлера - Венна на свойства разности и дополнения множеств. 4. Назовите виды комбинаций, где важен порядок при составлении наборов и где он не важен.