Размещения без повторений.

Назовём множество, содержащее nэлементов,n-множеством. Последовательность(x₁, x₂, …, x_k )длиныkбез повторяющихся элементов из элементов данногоn-множества назовём k-размещением без повторений элементов. Обозначим символомчисло размещений изnпоkэлементов (от фран. "arrangement" - размещение). Используя правило произведения, вычислим число. Пусть произвольное размещение длиныk имеет вид(x₁, x₂, …, x_k ). Элемент x1можно выбратьnспособами. После каждого выбораx1элементx2 можно выбрать (n - 1) способами. После каждого выбора элементов x1 иx2элементx3 можно выбрать (n - 2) способами, и т.д. После каждого выбора элементов x1 , x2, …, xk-1элементxkможно выбрать (n -(k - 1)) = (n - k + 1) способами. Тогда, по правилу произведения, последовательность(x₁, x₂, …, x_k)можно выбрать числом способов, равнымn(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1) . Произведение умножим и разделим на (n - k)!, получим:

.                                     (2)

Если в форуме (2) k = n, тоесть числоP_nперестановок изnэлементовP_n = n!.

Сочетания без повторений .

k-подмножество из неповторяющихся элементов данногоn-множества называетсяk-сочетанием без повторений. Обозначим черезчислоk-сочетаний из данных nэлементов. Формулу для числа сочетаний получим, рассуждая следующим образом. Если каждое сочетание упорядочить всеми возможными способами, то получим все k-последовательностей из nэлементов, без повторений, то есть все k-размещения. Иными словами,Откуда , полагая, чтоnиk- целые положительные числа и0!=1.:(3)

Основные свойства сочетаний.

1. Условились, что

2. 

3. 

4. 

5. 

Сочетания и размещения широко используются при вычислении классической вероятности случайных событий.

Пример. В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких. Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди выбранных орехов содержатся 2 грецких.

Решение. Число исходов опыта. Случайное событиеA- среди пяти выбранных орехов содержатся 2 грецких ореха. Число исходов, благоприятствующих событиюA, равно:. Искомая вероятность.

Задачи.

1. Найти вероятность того, что случайно выбранное 5-значное (десятичное) число не содержит цифры 5.

2. Предприятие располагает 5 вакансиями для мужчин, 5 вакансиями для женщин и 4 вакансиями для работников любого пола. В отдел кадров предприятия обратилось 20 человек, среди которых 12 мужчин и 8 женщин. Сколькими способами предприятие может заполнить имеющиеся вакансии?

3. В классе 25 учеников, из которых 13 юношей и 12 девушек. Сколькими способами 25 учеников могут встать в шеренгу так, чтобы юноши после удаления из строя девушек, оказались построенными по росту; аналогично девушки после удаления из строя юношей оказались построенными по росту?

В современной литературе наиболее употребителен для обозначения числа k-сочетаний изnэлементов символ,nназывают верхним индексом,k- нижним индексом. Используя свойства сочетаний 1, 2, 4, составим таблицу1.

Таблица 1.Треугольник Паскаля

n
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице1, арифметическим. Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий "Трактат об арифметическом треугольнике" (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи. Сочетания имеют многочисленные интерпретации и приложения. Сочетанияявляются биномиальными коэффициентами в разложении бинома

(1.4)

В этой интерпретации индексы могут принимать вещественные значения. Используя свойства биномиальных коэффициентов (при разных ограничениях на выбор верхних и нижних индексов), доказано громадное число комбинаторных тождеств, составивших самостоятельный раздел комбинаторной математики. В частности, из формулы 1.4 при x = 1, получим, приx = -1, n > 0, получим, продифференцировав равенство 1.4, получим приx = 1,и т.д. Существует тесная связь между подмножествами множества и разложениями целого (положительного) числа.Разложение n есть представление числа nв виде упорядоченной суммы положительных целых чисел. Например, существует восемь разложений числа 4, именно: 1+1+1+1   3+1 2+1+1      1+3 1+2+1       2+2 1+1+2         4 Если разложениесодержит в точности kслагаемых, то говорят, чтоимеет k частей и называетсяk-разложением. Дляk-разложениячисла n: a₁ + a₂ + …+ a_n- определим (k - 1)-подмножество(), (n - 1)-множества {1, 2, …, n-1}, формулой.

() ={a₁,a₁+a₂,…,a₁+a₂+…+a_k-1}        (1.5)

Эта формула устанавливает биекцию между всеми k-разложениями числаnи (k - 1)-подмножествами (n - 1)-множества. Следовательно, существуетk-разложений числаnи2^n-1разложений числаn. Биекциючасто схематично изображают строкой, состоящей изnточек иk - 1разделяющей вертикальной черты. Точки разделились поkлинейно упорядоченным "купе"; числа точек в "купе" соответствуют слагаемым вk-разложении числаn. Например, строка|||||соответствует разложению 1+2+1+1+3+2. Другая проблема, тесно связанная с разложениями, есть задача подсчёта числаN(n,k) решений уравнения

x₁ + x₂ +…+x_k = n(1.6)

Неотрицательные целые решенияуравнения 1.6 называются слабымиk-разложениями числаn. Число неотрицательных целых решений уравнения 1.6 равно числуположительных решений уравнения

y₁ + y₂ +… + y_k = n + k,

то есть числу k-разложений числаn + k. Таким образом,N(n,k) =.

Если k-сочетание содержит повторяющиеся элементы, то такоеk-сочетание называютk-мультимножеством. Число всехk-сочетаний с повторениями из данногоn-элементного множества обозначим через, где

(1.7)

Сочетание можно интерпретировать, как распределение элементовn-множестваSмежду двумя категориями, первая из которых содержитkэлементов, вторая содержитn - kэлементов. Обобщим это представление. Пусть (a₁,a₂, …,a_m)- последовательность неотрицательных целых чисел, сумма которых равнаn. РассмотримmкатегорийC₁,C₂, …C_m. Обозначим символом(1.8) число способов распределения nэлементов среди категорийC₁,C₂, …C_mтак, чтобы категорииC_iпринадлежало точноa_iэлементов. Тогда(1.9)