4.Теория конфигураций и теория перечисления
Теория конфигураций является традиционным и наиболее разработанным разделом комбинаторики. Теория конфигураций рассматривает задачи выбораирасположенияэлементов некоторого, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами. Перечислительная комбинаторика основным методом исследования провозгласила метод производящих функций, используя который было доказано громадное число комбинаторных тождеств.
5. Основные формулы комбинаторики
На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют "комбинаторные задачи".
Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин "комбинаторика" происходит от латинского combina - сочетать, соединять.
Комбинаторика- область математики, в которой рассматриваются задачи о тех или иных комбинациях объектов.
Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.
Правило суммы:
Если элемент Aможно выбратьmспособами, а элементBможно выбрать kспособами, то выбор элемента AилиBможно осуществитьm + kспособами.
Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A |число элементов множестваA, черезA
B- объединение множествAиB, черезAxB-
декартово произведение множествAиB. Тогда для непересекающихся
множествAиBвыполняется
равенство:
| A
B
| = | A | + | B |.
Если имеется n попарно непересекающихся множеств A1, A2, …, An,содержащихm1, m2, …, mnэлементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно
m1+ m2 +…+ mn.
Обобщением правила суммы является правило произведения.
Правило произведения:
Если элемент Aможно выбрать mспособами, а после каждого выбора элементаAэлементBможно выбратьkспособами, тогда, упорядоченную пару элементов (A,B) можно выбратьm*kспособами. На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так: | AхB | = | A |
|
B |.Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x1, x2, …, xn) произвольной конечной длины n. Пусть имеется nмножествA1, A2, …, Anсодержащихm1, m2, …, mn элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж(а1, а2, ..., аn), где аi принадлежит Аi (i = 1, 2, …, n), равно
m1 · m2 · … · mn .
Кортеж- конечная последовательность (допускающая повторения) элементов какого-нибудь множества.
Перестановки без повторений.
Назовём множество, содержащее nэлементов,n-множеством. Последовательность (x1, x2, …, xn) длиныnбез повторяющихся элементов из элементов данногоn-множества назовём Pn перестановкой без повторений элементов(от "permutation"- перестановка).. Используя правило произведения, вычислим числоPn. . Элемент x1можно установитьnспособами. После каждого выбораx1элементx2 можно установить в новой выборке (n - 1) способами. После каждого выбора элементов x1 иx2элементx3 можно установить (n - 2) способами, и т.д. После каждого выбора элементов x1 , x2, …, xk-1 элементxkможно установить (n -(k - 1)) = (n - k + 1) способами. Тогда, по правилу произведения, последовательность(x1; x2; , …, xn) можно выбрать числом способов, равнымn(n - 1)(n - 2) … (n - k + 1)…2*1. ЧислоPn перестановок изnэлементов без повторяющихся элементов
Pn = n!(1)