1. Понятие множества. Подмножества

Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин "множество" в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять и из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают . Множество B называют подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А. Обозначается ВА.

Свойства включения множеств:

1. Пустое множество является подмножеством любого множества:   А.

2. Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. для любого множества А справедливо включение А  А.

3. Если А - подмножество множества В, а В - подмножество множества С, то А - подмножество множества С.

Универсальное множество - это самое большее множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в данной задаче. На диаграмме Эйлера - Венна универсальное множество обозначают в виде прямоугольника и буквы U:

2. Операции над множествами

Равными называются множества, состоящие из одних и тех же элементов.

Два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B (AB и ВА)).

Множества не равны, если хотя бы в одном множестве существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается AB.

Отметим разницу в употреблении союза "или" в математике и в обыденной речи. В обыденной речи союз "или" употребляется чаще в разделительном смысле - "либо… либо", тогда как в математике - в объединительном.

Свойства объединения множеств: 1.2.3.4.5.6.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам А и В. Обозначается АВ.

Свойства пересечения множеств: 1.2.3.4.5.6.Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В. Обозначается А \ В.

Свойства разности множеств: 1. Если то А \ В = А. 2. Если АВ, то А \ В =. 3. А \ В = А \ (АВ). Разность между универсальным множеством U и множеством А называется дополнением множества А. Обозначается = U \ A.

Свойства разности и дополнения:

3. Комбинаторика

Комбинаторика является древнейшей и, возможно, ключевой ветвью математики. Всякому анализу предшествует комбинаторное рассмотрение, всякая серьёзная теория имеет комбинаторный аналог.

Комбинаторика располагает столь многообразными методами, решает столь разнообразные задачи, что трудно чётко обозначить её границы. Условно в комбинаторной теории можно выделить следующие три большие части (см. схему):

• Теорию конфигураций, включающую блок - схемы, группы подстановок, теорию кодирования.

• Теорию перечисления, содержащую производящие функции, теоремы обращения и исчисление конечных разностей.

• Теорию порядка, включающую конечные упорядоченные множества и решётки, матрицы и теоремы существования, подобные теоремам Холла и Рамсея.

Следует ещё раз подчеркнуть в высшей степени условный характер представленной схемы. Повсеместно можно наблюдать взаимную связь перечисленных разделов комбинаторики. Например, перечислительная комбинаторика рассматривает задачи, относящиеся и к конфигурациям, и к упорядоченным множествам.