Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница относится к математическому анализу и является основной формулой интегрального исчисления! Ранее, когда мы рассматривали Формулу бинома Ньютона, мы сказали что Исааку Ньютону принадлежит роль "Отца современной математики". Ньютон вместе с Лейбницем, Огюстеном Коши, Кантором, Леонардом Эйлером и другими заложили основы современного дифференциального и интегрального исчисления, хотя строгое и стройное построение математического анализа возникло несколько позже. Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно: Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница:

Здесь F(x) - первообразная для функции f(x)! Таким образом, чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, надо вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования B, при нижнем пределе интегрирования - A, а затем взять их разность F(b)-F(a). Вначале мы рассмотрим доказательство данной формулы, а затем приведем Примеры решения интегралов по основной формуле интегрального и дифференциального исчисления.

21.Правила Лопіталя розкриття невизначеностей

Теорема 3.10. (І правило Лопіталя). Якщо:

1) функції  і  диференційовні на інтервалі ,  для всіх ;

2) ;

3) існує скінченна або нескінченна границя ,

то існує границя , причому має місце рівність:

.                              (3.21)

Доведення. Довизначимо функції  і  в точці  так, щоб вони стали неперервними, тобто покладемо . Тепер  ці функції на відрізку , ( ) задовольняють умови теореми Коші. Тому існує точка с, , ( ) така, що

.

Оскільки , ( ) то . Перейшовши в останній рівності до границі, за умови , отримаємо

 що і потрібно було довести.

Запам’ятай добре! Доведену теорему зазвичай називають правилом Лопіталя розкриття невизначеності  за умови .

Аналогічні теореми мають місце для розкриття невизначеності  у випадку односторонніх границь при , .

Наслідок 2. Якщо похідні  і  задовольняють ті самі вимоги, що і функції  і , то правило Лопіталя можна застосувати повторно. При цьому отримаємо

.                       (3.22)

І взагалі, правило Лопіталя при виконанні умов теореми можна застосовувати багаторазово.

Наслідок 3. Якщо в теоремі замінити умову 2) на наведену нижче

2) , або , то формула (3.21) також має місце.

В цьому випадку правило Лопіталя застосовується для розкриття невизначеності типу ( ІІ правило Лопіталя).

22. Формули Тейлора та Маклорена.

Для функції, яка диференційовна раз включно в околі точки має місце формула Тейлора:

, . Останній доданок у формулі Тейлора

називають залишковим членом у формі Лагранжа , і якщо похідна обмежена, то він прямує до нуля при . При ця формула набуває вигляду: , де . Її називають формулою Маклорена.

У точці сама функція і похідні парних порядків ( ) дорівнюють нулю, а всі похідні непарних порядків дорівнють . Отже, . Аналогічно записують формулу Маклорена для функції , а саме

За допомогою формул Тейлора і Маклорена складні функції з великою точністю замінюють многочленами, що полегшує обчислення.