11. Загальне поняття границі функції в точці та його окремі випадки.
Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0
Число A называется пределом функции f(x) при x → x0 (или в точке x0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x − x0| < δ, справедливо неравенство
|f(x) − A| < ε, т.е.
lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ |f(x) − A| < ε.
x → x0
Используем понятие окрестности и учтем, что
0 < |x − x0| < δ x
δ (x0 ) и |f(x) − A| < ε f(x) Oε (A).
(Точка над символом окрестности указывает, что это проколотая окрестность.)
Теперь определение предела функции в точке можно представить в виде
lim f(x) = A ε > 0 δ > 0 : x
x → x0
δ (x0 ) f(x) Oε (A)
12. Основні властивості границь функцій.
1) Предел постоянной величины
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
2) Предел суммы
Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
Расширенное свойство предела суммы:
Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.
3) Предел произведения функции на постоянную величину
Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:
4) Предел произведения
Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
Расширенное свойство предела произведения
Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел частного
Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
13. Нескінченно малі та великі функції, їх порівняння та застосування. А) Сравнение бесконечно малых функций
Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:
1)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен нулю, в этом случае говорят,
что p(x) бесконечно
малая функция
более высокого порядка и принято
обозначать p(x) = o(q(x)).
2)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен С - некоторой константе, в
этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно
малые функции одного порядка и принято
обозначать p(x) = O(q(x)).
3)
Если данный предел:
не
существует, в этом случае мы ничего не
можем сказать о сравниваемых функциях
и поэтому говорят, что функции не
сравнимы.
4)
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен бесконечности, в этом случае
говорят, что g(x) бесконечно
малая функция
более высокого порядка и принято
обозначать q(x) = o(p(x)).
B) Сравнение бесконечно больших функций
Также как и в предыдущем пункте будем рассматривать предел отношения двух функций. Только теперь у нас функции стремятся к бесконечности при аргументе x, стремящемся к А. Возможны следующие варианты:
1) , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.
2) , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.
3) , т.е. предел отношения функций существует и равен нулю. В этом случае говорят, что q(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.
4) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.