14. Дві істотні границі та наслідки з них.
(речь идет о двух замечательных пределах)
Первый замечательный предел
Следствия
Второй замечательный предел
или
Следствия
для
,
15. Поняття неперервної функції та її властивості.
Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.
Свойства
Локальные
Функция, непрерывная в точке
,
является ограниченной в некоторой
окрестности этой точки.Если функция
непрерывна
в точке
и
(или
),
то
(или
)
для всех
,
достаточно близких к
.Если функции и
непрерывны
в точке
,
то функции
и
тоже
непрерывны в точке
.Если функции и непрерывны в точке и при этом
,
то функция
тоже
непрерывна в точке
.Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке
,
то их композиция
непрерывна
в точке
.
Глобальные
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке
,
является отрезок
где
минимум и максимум берутся по отрезку
.Если функция непрерывна на отрезке и
то
существует точка
в
которой
.Если функция непрерывна на отрезке и число
удовлетворяет
неравенству
или
неравенству
то
существует точка
в
которой
.Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами
и
.Если функции и непрерывны на отрезке , причем
и
то
существует точка
в
которой
Отсюда,
в частности, следует, что любое непрерывное
отображение отрезка в себя имеет хотя
бы одну неподвижную
точку.
16. Односторонняя непрерывность
В
определении непрерывности функции в
точке х0 требуется существование
и равенство
.
С применением односторонних пределов
определяются понятия непрерывности
функции в точке слева и справа:
Опр.5.1.7.
Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0 слева, если
.
Опр.5.1.8.
Функция f(x) называется непрерывной в
точке х0 справа, если
.
Опр.5.1.9. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.
Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х0= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х0= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).