34. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Застосування визначеного інтеграла.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке [a, b].

Тогда .

Док-во. Пусть F(x) - первообразная для функции f(x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то . Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство. Пример:

Застосування інтегралу

Інтегральне числення широко використовується при розв’язуванні різноманітних практичних задач. Розглянемо деякі з них.

Обчис Обчислення площі криволінійної трапеції Нехай задано на площині деяку фігуру обмежену лініями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). (Рис. 2). Тоді її площа буде отримуватись інтегруванням різниці між верхньою та нижньою функцією на даному проміжку Обчислення об’ємів тіл Нехай задана функція, яка задає площу поперечного перерізу тіла в залежності від деякої змінної S = s(x), x [a; b]. Тоді об’єм даного тіла можна знайти проінтегрувавши дану функцію у відповідних межах Якщо нам задане тіло, яке отримане обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції обмеженої деякою функцією f(x), x [a; b]. (Рис. 3). То площі поперечних перерізів можна обчислити за відомою формулою S = π f 2(x). Тому формула об’єму такого тіла обертання Аналогічно для осі Oy, y [c; d]

35. Невласні інтеграли першого роду.

Невласти́вий інтегра́л є розширенням поняття визначений інтеграл; він дозволяє в деяких випадках обраховувати «інтеграл на нескінченості» або «інтеграл від необмеженої функції». В математичному аналізі невластивим інтервалом називають границю послідовності визначених інтегралів, коли інтервал інтегрування збільшується до нескінченості, або коли інтервал наближається до особливої точки інтегрованої функції, де та йде у нескінченість.

Невласні інтеграли першого роду ("нескінчений інтервал")

Нехай функція неперервна на проміжку . Тоді вона буде неперервною на будь-якому скінченому відрізку . Для функції , неперервної на , існує визначений інтеграл , який залежить від верхньої межі інтегрування. Цей інтеграл визначає деяку величину, наприклад площу криволінійної трапеції, обмеженої

графіком функції прямими , , . Будемо необмежено збільшувати верхню межу інтегрування . При цьому можливі два випадки: або при має скінчену границю, або не має.