21. Аппроксимация произвольного потока заявок потоком Эрланга

Пусть задана произвольная плотность функции распределения – интервал времени между заявками для произвольного закона с и .

Для потока Эрланга:

.

Пример.

Пусть задан поток неизвестного распределения с интенсивностью 15 заявок/ч, 4 мин.; 1 мин.²

Решение: Данный поток можно аппроксимировать потоком Эрланга 16 порядка с интенсивностью , который генерируется из пуассоновского потока с интенсивностью заявок/ч.

22. Верификация потоков заявок

• Критерий Пирсона

, – уровень значимости (вероятность ошибки второго рода).

, Сравниваем и . Если расчетное больше табличного, то распределение не пуассоновское, но мы ошибаемся с вероятностью . Если расчетное меньше табличного, то не можем отвергнуть гипотезу, что это пуассоновское распределение. Чем меньше , тем с большей уверенностью мы можем говорить, что это пуассоновское распределение. Критерий Пирсона позволяет отвергнуть выдвинутую гипотезу, но не дает ответ, что это именно пуассоновское распределение.

• Критерий Колмогорова

Статистика для проверки гипотезы рассчитывается по формуле:

– вероятность того, что расхождение между теоретическим и экспериментальным произошло из-за случайных факторов.

23. Марковские процессы

• Пусть в объекте моделирования определены состояния , например, в системе массового обслуживания:

– в СМО нет заявок,

– в СМО одна заявка,

– в СМО две заявки и т.д.

C течением времени СМО переходит из одного состояния в другое.

24. Марковские процессы с дискретными состояниями(число состояний конечно или счетно)

• марковские процессы с дискретным временем перехода (моменты перехода заранее определены);

• марковские процессы с непрерывным временем перехода (момент перехода не определен, случаен).

• марковские процессы обладают свойством безпоследействия (число заявок в интервал не зависит от числа заявок за другой интервал , если они не пересекаются)

25. Марковские процессы с дискретными состояниями и дискретным временем перехода

• Для задания марковского процесса необходимо определить матрицу вероятностей перехода из одного состояния в другое.

• Так как на каждом следующем шаге система переходит в другое состояние, то

• Если (не зависит от шага), то процесс называется однородным.

• При устремлении (шага) к бесконечности получим вектор предельных вероятностей:

.

26. Процесс, в котором вектор предельных вероятностей не зависит от вектора начального состояния, называется эргодическим.

Если матрица переходов неприводима (т.е. из каждого состояния можно достигнуть любое другое состояние), то существует вектор предельных вероятностей.

27. Марковские процессы с дискретными состояниями и     непрерывным временем перехода

• Пусть система может находиться в состояниях ( ).

• Время перехода – случайная величина.

• – интенсивность перехода из состояния в .

• За время вероятность перехода .

• Если (не зависит от времени), то это однородный марковский процесс.

28. Система уравнений Колмогорова.

В общем случае, когда число состояний , система уравнений примет вид:

.

Эту систему уравнений по имени автора называют системой уравнений Колмогорова.

( ),

.

29. Процессы гибели и размножения

Процессами гибели и размножения называются марковские процессы, имеющие размеченный граф, приведенный ниже

− интенсивности размножения, − интенсивности гибели. ,

30. Пуассоновские СМО

В пуассоновских СМО входной поток заявок – пуассоновский, т.е. , а время обслуживания распределено по экспоненциальному закону .

31. Одноканальные пуассоновские СМО без очереди (N=0)

;

Среднее число заявок в системе равно:

Среднее время пребывания в СМО равно среднему времени обслуживания:

Ws = 1/мю

.

32. Одноканальные пуассоновские СМО с ограниченной очередью

; , где – любое, т.е. на отношение не накладывается никаких ограничений.

; ; ; ;

Частный случай, когда , т.е. . В этом случае :

; ;

33. Одноканальные пуассоновские СМО с неограниченной очередью

Так как СМО без отказов, то , а .

Чтобы существовал предел, необходимо выполнение условия ,

; ; ;

;

Из того, что − экспоненциальное распределение, следует важный вывод: выходной поток заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью является пуассоновским потоком.

34. Многоканальные пуассоновские СМО с ограниченной очередью (N>0)

;

;

; ;

; ;

; ; ;

Частный случай .

;

35. Многоканальные пуассоновские СМО без очереди (N=0)

; ; ;

; ;

36. Многоканальные пуассоновские СМО с неограниченной очередью

;

;

37. СМО с взаимопомощью каналов

(в) – "все как один"; (р) – равномерная взаимопомощь; (б) – СМО без взаимопомощи.

,где  – интенсивность обслуживания одного канала.

38. СМО с взаимопомощью каналов без очереди

• Без взаимопомощи

; (как многоканальная смо без очереди)

• Все как один

; ; (как одноканальная смо без очереди, с заменой  на m.)

• Равномерная взаимопомощь

; ; ; ; ; , как СМО с ограниченной очередью с заменой N на m-1, и  на m.

Сравним характеристики:

39. СМО с взаимопомощью каналов с неограниченной очередью

• Без взаимпомопомощи

;

(как многоканальная смо с неограниченной очередью)

• Все как один

Очередь начинается после состояния (что то формул я не нашел)

• Равномерная взаимопомощь (Очередь начинается после состояния .)

размеченные графы для обеих дисциплин взаимопомощи одинаковые, из чего следует, что предельные вероятности состояний одинаковые. Это означает, что и равны для равномерной и "все как один" дисциплин взаимопомощи. Для их расчета следует использовать формулы одноканальной СМО с неограниченной очередью, заменив в них  на m.

Сравним характеристики СМО:

40. СМО с взаимопомощью каналов с ограниченной очередью

Без взаимопомощи

; ; ; ; ; (как многоканальные смо с ограниченной очередью)

Все как один

; ; ; ; ; (с заменой  на m.) Очередь начинается после состояния .

Равномерная взаимопомощь

Очередь начинается после состояния .

; ; ; ; ; ( с заменой  на m и N на N+m-1);

;

41. Сравнение характеристик СМО

Равномерная взаимопомощь (р) наиболее эффективная из всех, а про взаимопомощь «все как один» (в) ничего определенного сказать нельзя, так как все зависит от соотношения , , m, N.

42. СМО самообслуживания

Системы, в которых нет отказа и отсутствует очередь, называются СМО самообслуживания. Такие требования к СМО будут выполняться, если в СМО число каналов будет стремиться к бесконечности.

; ; ; Определим вероятность состояния − вероятность того, что система будет свободна:

. (полученное выражение справедливо только для пуассоновских СМО самообслуживания.)

43. Замкнутые СМО

Чтобы представить этот класс СМО, рассмотрим ее пример. Пусть есть n станков – источники заявок, каждый из которых выходит из строя с интенсивностью . Для обслуживания выходящих из строя станков имеются каналы обслуживания. Если число каналов m = 1, то замкнутая система одноканальная, если m > 1, то замкнутая система многоканальная.

44. Одноканальные замкнутые СМО

вероятность того, что все станки работают, а аппарат обслуживания простаивает.

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

45. Многоканальные замкнутые СМО

; ; ; ;

; ; ; ; ;

В частном случае, когда и , СМО распадается на m одноканальных, т.е. за каждым каналом закрепляется один источник заявок (станок). Для отдельного канала и всей СМО в целом выполняется: .Загруженность отдельного канала , а число заявок в системе . Кроме того, в данной СМО и

46. Многофазные СМО

Многофазные СМО представляют собой обслуживание заявок последовательно в нескольких СМО (фаз). Поток заявок поступает на СМО₁.