2.10. Проверка гипотез о значениях коэффициентов: односторонние критерии

Вспомним пример с потреблением текстиля. Мы подобрали линейную модель в логарифмах (с постоянными эластичностями)

(здесь — расходы на личное потребление текстиля, — относительная цена текстиля, - располагаемый доход). В рамках этой модели представляют интерес гипотезы и о «единичной эластичности» расходов на потребление текстиля как по доходам, так и по ценам.

Построить критерии с уровнем значимости для проверки этих гипотез можно по той же схеме, по которой строятся критерии проверки гипотез , только теперь для проверки гипотезы следует использовать - статистику

а для проверки гипотезы — - статистику

Каждая из этих статистик, в случае справедливости соответствующей нулевой гипотезы, имеет распределение . Нулевая гипотеза отвергается, если значение - статистики превышает по абсолютной величине значение .

В нашем примере

Таким образом, отклонение значения от гипотетического значения статистически значимо — гипотеза отвергается. В то же время, отклонение значения от гипотетического значения не является статистически значимым, и гипотеза не отвергается.

Замечание. Из проведенного рассмотрения видна важность не только абсолютных отклонений оценок от гипотетических значений параметров , но и точностей оценок , измеряемых дисперсиями и оцениваемых величинами . Действительно, абсолютные величины отклонений в рассмотренном примере равны

и ,

соответственно, т. е. отличаются не очень существенно. Однако примерно в 4.3 раза меньше, чем , и именно такое большое отличие и и приводит, в конечном счете, к противоположным решениям в отношении гипотез и .

Итак, на основании построенной процедуры гипотеза отвергается. А что же тогда принимается?

Формально, альтернативой для в построенном критерии является гипотеза , поскольку критическое множество содержит в равной степени как большие положительные, так и большие (по абсолютной величине) отрицательные значения - статистики . В то же время, значение , соответствующее отклонению , скорее говорит в пользу того, что в действительности .

В этой связи, естественным представляется более определенный выбор альтернативной гипотезы, а именно, сопоставление нулевой гипотезе односторонней альтернативы (односторонняя альтернатива — в отличие от двухсторонней альтернативы ). При такой постановке задачи отвержение нулевой гипотезы в пользу альтернативы производится только при больших положительных отклонениях , т. е. при больших положительных значениях -статистики. Если мы отнесем к последним значения, превышающие , то получим статистический критерий, у которого ошибка первого рода (уровень значимости) равна . Его критическое множество определяется соотношением

справа стоит теперь значение , а не , как это было при двухсторонней альтернативе. Поскольку у нас , мы отвергаем гипотезу в пользу гипотезы .

Построим аналогичную процедуру для параметра . Именно, построим критерий уровня для проверки гипотезы против односторонней альтернативы . Критическое множество такого критерия должно состоять из значений -статистики, превышающих . У нас значение

опять меньше порогового, так что гипотеза не отвергается в пользу .

Обратим теперь внимание на то, что при рассмотрении пары конкурирующих гипотез

мы выделяем в гипотезу только одно частное значение , хотя по-существу дела проблема состоит скорее в выборе между гипотезами

Последняя ситуация коренным образом отличается от предыдущей: оказывается сложной гипотезой, т. е. гипотезой, допускающей более одного значения параметра, в данном случае даже бесконечно много значений параметра . В противоположность этому, в предыдущей ситуации гипотеза была простой.

Какие осложнения возникают при использовании сложной нулевой гипотезы?

Возьмем, для примера, частную гипотезу . Мы отвергли бы ее в пользу при

В то же время, частную гипотезу мы отвергаем в пользу той же при

Иначе говоря, при различных частных гипотезах, входящих в состав сложной нулевой гипотезы , мы получаем различные критические множества, обеспечивающие заданный уровень значимости (ошибку 1-го рода) . Построение каждого такого множества непосредственно использует конкретное гипотетическое значение , тогда как в рамках гипотезы отдельное гипотетическое значение параметра не конкретизируется.

Возникающее затруднение преодолевается, исходя из следующих соображений. Коль скоро мы не в состоянии построить единое для всех критическое множество, вероятность попадания в которое равна при справедливости каждой отдельной частной гипотезы, следует попытаться построить единое для всех критическое множество, вероятность попадания в которое при выполнении каждой отдельной частной гипотезы была бы не больше . Такая задача реализуется путем использования критического множества, соответствующего граничному значению односторонней гипотезы, в данном случае .

Действительно, пусть мы берем критическое множество соответствующее граничной частной гипотезе , так что

Тогда, если в действительности верна частная гипотеза то

Вообще, какая бы частная гипотеза ни была верна, вероятность отвергнуть ее в рамках указанной процедуры не превысит .

В этом контексте, по-прежнему называется уровнем значимости критерия, тогда как понятие ошибки 1-го рода уже теряет смысл для критерия в целом. Уровень значимости ограничивает сверху ошибки 1-го рода, соответствующие частным гипотезам, входящим в состав сложной нулевой гипотезы.

Основной вывод из сказанного: при указанном подходе к построению критериев проверки сложных нулевых гипотез вида

(эластичность при

(неэластичность при

(неэластичность при

(эластичность при

против соответствующих односторонних альтернатив можно пользоваться критериями уровня , построенными для работы с теми же альтернативами, но при простых гипотезах соответственно.

Замечание. То же относится и к другим аналогичным парам гипотез, в которых вместо значения 1 берутся другие фиксированные граничные значения.