2.5. Частотные характеристики систем автоматического управления.

Частотные характеристики САУ определяют на основании передаточных функций звеньев структурной схемы системы. В основе частотных методов анализа и расчета системы автоматического управления положена комплексная частотная передаточная функция разомкнутой системы W₀(jω), составленная по замкнутому контуру структурной схемы. Задача составления этой частотной функции и построения характеристик может быть существенно упрощена, если структурная схема системы автоматического управления будет приведена к одноконтурной, состоящей из простейших типовых, то есть табличных звеньев направленного действия.

Частотную передаточную функцию разомкнутой системы наиболее просто можно составить по операторной главной передаточной функции, заменив в ней оператор Лапласа на jω:

W₀(jω) = W₁(jω)W₂(jω)…W_n(jω).

Поскольку частотную передаточную функцию каждого звена можно представить вектором на комплексной плоскости, частотная передаточная функция системы есть произведение векторов. Следовательно, модуль вектора частотной передаточной функции системы равен произведению модулей векторов звеньев, входящих в замкнутый контур системы, а его фазовая характеристика равна сумме фазовых характеристик звеньев.

.

А мплитудно-фазовая характеристика системы автоматического управления на комплексной плоскости располагается в нескольких квадрантах. Обычно система содержит апериодические и интегрирующие звенья, поэтому фаза вектора частотной функции отрицательная.

Логарифмические амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики разомкнутой системы представляют собой суммы соответствующих характеристик звеньев, входящих в замкнутый контур системы:

G₀(ω) = G₁(ω) + G₂(ω) + …+ G_n(ω);

₀(ω) = ₁(ω) + ₂(ω) + …+ _n(ω).

3. Частотные методы оценки устойчивости и качества регулирования систем автоматического управления.

3.1. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости, основанный на использовании частотных характеристик, был разработан в 1932 г. американским инженером-исследователем Г.Найквистом применительно к устройствам радиотехники. В 1938 г. российский ученый А.В.Михайлов обобщил этот критерий и применил его для исследования устойчивости замкнутых систем автоматического управления, используя амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутых систем, устойчивых в разомкнутом состоянии достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении угловой частоты  от 0 до  не охватывала точку М с координатами [–1;j0] на комплексной плоскости. На рисунке АФХ, соответствующая вектору , является неустойчивой, а АФХ, соответствующая вектору – устойчивой.

Ф изический смысл критерия применительно к устойчивым в разомкнутом состоянии системам можно пояснить, рассмотрев изменение амплитуды А и фазы  гармонического сигнала при его прохождении последовательно через все n звеньев разомкнутой системы.

Гармонический сигнал на входе системы x_вх(t) = A_вхsint, на выходе обратной связи (звено с номером n) разомкнутой системы x_n(t) = A_nsin(t + _n). Если установить частоту  гармонических сигналов такой, что фаза сигнала x_n(t) на выходе главной обратной связи разомкнутой системы _n = –180, то отношение амплитуд А_n/А_вх гармонических сигналов x_вх(t) и x_n(t) будет характеризовать ослабление или усиление мощности гармоничного сигнала при его прохождении по контуру обратной связи до места её замыкания.

П ри замыкании главной отрицательной обратной связи фаза гармонического сигнала x_n(t) инвертируется устройством сравнения, то есть сдвигается на 180. В результате, фаза сигнала обратной связи по отношению к входному сигналу становится равной _n = 360 или _n = 0, следовательно, входной сигнал и сигнал обратной связи совпадут по фазе. На рисунке инвертированный сигнал обратной связи показан штриховой линией. Таким образом, обратная связь замкнутой системы при фазовом сдвиге сигналов _n = –180 становится положительной.

Известно, что любой усилитель с положительной обратной связью переходит в релейный режим, то есть теряет устойчивость и переходит в режим ограничения максимального уровня выходного сигнала, если коэффициент усиления по контуру обратной связи равен или больше единицы. Если коэффициент усиления по контуру положительный обратной связи будет меньше 1, то усилитель устойчиво функционирует в режиме усиления. Отношение амплитуды гармонического сигнала А_n на выходе звена обратной связи к амплитуде А_вх входного сигнала характеризует его усиление по контуру главной обратной связи. С другой стороны это отношение равно модулю вектора частотной функции разомкнутой системы

.

С ледовательно, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку М с координатами (–1;j0), то модуль вектора частотной функции разомкнутой системы при фазе ₀ = –180 будет , а замкнутая система – устойчива. В том случае, когда АФХ разомкнутой системы охватывает точку с координатами (–1;j0), модуль вектора частотной функции разомкнутой системы при фазе ₀ = –180 будет , а замкнутая система – неустойчива.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить запасы устойчивости замкнутой системы по модулю и фазе. Запас устойчивости по модулю А равен отношению разности амплитуд гармонического сигнала на входе и выходе разомкнутой системы к амплитуде входного сигнала при фазе ₀ = –180:

.

На амплитудно-фазовой характеристике эта величина представлена отрезком МN от точки М(–1; j0) до точки N пересечения АФХ разомкнутой системы с вещественной осью:

.

Запас устойчивости по фазе  можно определить по разности фаз _n гармонических сигналов входного x_вх(t) и на выходе разомкнутой системы x_n(t), при условии что их амплитуды равны А_n = А_вх. На АФХ разомкнутой системы, устойчивой в замкнутом состоянии, запас по фазе определяют углом между отрицательной частью вещественной оси и вектором частотной функции , проведенным из начала координат в точку P пересечения АФХ с окружностью радиусом 1. Модуль вектора частотной функции разомкнутой системы в этом случае равен , а фаза₀ отличается от –180 на величину  угла запаса по фазе:

 = 180 – ₀.

Запасы устойчивости по модулю и фазе взаимосвязаны с качеством регулирования САУ. При уменьшении запасов качество регулирования ухудшается, при увеличении запасов – улучшается. Поэтому нормы запасов задают интервалами А  0,5…0,8;   30…60.

Основные достоинства критерия устойчивости Найквиста:

1. Возможность оценки устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы.

2. Возможность определения АФХ разомкнутой системы или отдельных её звеньев экспериментальным путем.

3. Возможность количественной оценки запасов устойчивости по модулю и фазе.

Существенным недостатком критерия устойчивости Найквиста является большой объем вычислительной и графической работы при расчете и построении АФХ. Этот недостаток легко устранить, применив для оценки устойчивости логарифмические частотные характеристики.

3.2. Оценка устойчивости систем автоматического управления по ЛЧХ с использованием критерия Найквиста.

Метод оценки устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам представляет собой, по сути, рассмотренный в предыдущем разделе критерий устойчивости Найквиста, перенесенный с амплитудно-фазовой характеристики на логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Из сопоставления АФХ и ЛЧХ следует, что пересечение АФХ окружности с центром в начале координат на комплексной плоскости радиусом 1 соответствует пересечению ЛАЧХ с осью абсцисс, так как lg1 = 0. Частоту, при которой модуль вектора частотной функции разомкнутой системы равен 1, называют частотной среза ЛАЧХ _ср разомкнутой системы. Точке М пересечения АФХ с отрицательной частью вещественной оси соответствует фаза ₀ = –180, следовательно, ЛФЧХ при этом пересекают уровень –180.

А мплитудно-фазовые характеристики, показанные на рисунке, соответствуют системе автоматического управления, в структурной схеме которой либо отсутствует форсирующие звенья, либо они не оказывают заметного влияния на вид АФХ. В такой САУ повышение общего коэффициента усиления К₀ разомкнутой системы может привести к потере устойчивости. На рисунке показана АФХ при двух значениях коэффициента усиления К₀₁ и К₀₂. Согласно критерию Найквиста система автоматического управления с общим коэффициентом усиления К₀₁ устойчива (кривая 1), так как её АФХ не охватывает точку М(–1, j0); при К₀₂ САУ неустойчива (кривая 2).

Л огарифмические частотные характеристики, соответствующие АФХ приведены на рисунке. Из рисунка следует, что при повышении общего коэффициента усиления от К₀₁ до К₀₂ частота среза _ср смещается вправо по оси абсцисс до значения _ср2, а запас устойчивости по фазе при неизменной фазо-частотной характеристике из положительного ₁ становится отрицательным –₂, то есть ЛФЧХ переходит уровень –180. Замкнутая система в этом случае становится неустойчивой.

Формулировка критерия устойчивости Найквиста применительно к ЛЧХ: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если при всех положительных значениях ЛАЧХ разомкнутой системы, её ЛФЧХ расположена выше уровня –180.

Запас устойчивости по фазе  на ЛФЧХ определяют в виде разности уровня –180 и фазе ₀ при частоте среза ЛАЧХ:

 = 180 – ₀(_ср).

Запас устойчивости по модулю, определяемый отрезком А при пересечении АФХ с отрицательной частью вещественной оси, на ЛАЧХ соответствует ординате G при частоте пересечения ЛФЧХ уровня –180. Запасу устойчивости по модулю А ≥ 0,5 соответствует абсолютное значение ординаты ЛАЧХ: .