13. Зависимость между наращенной стоимостью ренты и ее современной стоимостью. Определение характеристик финансовых рент. Современная стоимость бессрочной ренты ( n→ ∞).

Современная стоимость потока платежей представляет собой его обобщающую оценку, приуроченную к некоторому предшествующему моменту времени (у немедленной ренты — к началу срока). Наращенная сумма — это тоже не что иное, как представление всех членов потока в виде одного числа, однако приурочена эта оценка к концу срока. Нетрудно обнаружить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтировав сумму S с помощью дисконтного множителя vⁿ, получим:

Соответственно, наращивая сумму А по ставке i, получим:

A(1+ i)ⁿ = S.

Под вечной рентой понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет.

Современная величина вечной ренты (4.44)

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и процентной ставки.

14. Отложенная рента. Переменные потоки платежей: Ренты с постоянным абсолютным изменением элементов. Ренты с постоянным темпом изменения элементов.

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты. Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна A. Современная стоимость на начало периода отсрочки, равного t лет, очевидно, равна дисконтированной величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты:

_tA = Av^t = Ra_n;iv^t, (4.43)

где _tA — современная стоимость отложенной ренты.

Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда члены потоков платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продукции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем такого потока является переменная рента. У последней члены потока изменяются по каким-то установленным (принятым, оговоренным и т.д.) законам или условиям развития. Если таких законов нет, то соответствующий поток можно назвать нерегулярным. Переменные потоки платежей встречаются относительно редко, во всяком случае существенно реже, чем постоянные.

Рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени предполагает, что эти изменения происходят согласно арифметической прогрессии. Например, если выплачивается годовая рента постнумерандо, то размеры членов ренты образуют последовательность:

R, R + a, R + 2a, ..., R + (n - 1)а.

Величина t-гo члена такой ренты равна R + (t - l)a.

Определим наращенную сумму и современную стоимость ренты. Для этого вернемся к общей формуле современной стоимости потока, заменив в ней R_t на члены рассматриваемого ряда. Получим:

A = Rv + (R + a)v² + ... + [R + (t - 1)a]vⁿ, t = l...n. (5.1)

Умножим это равенство на (1 + i) и вычтем из обеих сторон полученного выражения соответствующие стороны равенства (5.1):

iA = R + av + av² + ... + av^n-1 - avⁿ - (t - l)avⁿ.

После несложных преобразований находим:

(5.2)

Напомним, что a_n;i — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что полученный результат представляет собой современную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за вычетом поправочной величины navⁿ/i.

Наращенную сумму такой ренты легко получить, умножив (5.2) на (1 + i)ⁿ. После чего

(5.3)

Определим теперь влияние на современную стоимость ренты абсолютного прироста платежей. Из формулы (5.1) следует, что A линейно зависит от a (см. рис. 5.1). (A₀ — современная стоимость потока платежей при нулевом их приросте.)

(5.4)

Формулы (5.2) и (5.3) и их преобразования (5.4) и (5.5) получены для рент постнумерандо. Для рент пренумерандо находим:

(5.6)

(5.7)

Напомним, что — коэффициенты приведения и наращения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. параграф 4.5).