10. Реинвестирование по простым процентным ставкам. Дисконтирование по сложным процентным ставкам.

В практике при инвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию (rollover) полученных на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

S = (1 + n₁i₁)(l + n₂i₂) (1.3)

где i_t — ставки, по которым производится реинвестирование.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то вместо формулы (1.3) имеем:

S = P(1+ ni)^m, (1.4)

где m — количество реинвестиций.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возникнуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount).

D = S - P = S(1 - vⁿ); D = S - P = S(1 - v^mn).

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

Применим математическое дисконтирование по сложной ставке процента. На основе (2.1) получим:

,

vⁿ = (1 + i)^-n = 1/qⁿ. Величину vⁿ называют дисконтным множителем (discount factor). Значения множителя легко табулировать (см. Приложение, табл. 3).

Для случаев, когда проценты начисляются т раз в году, получим:

, (2.12)

v^mn = (1 + j/m)^-mn. (2.13)

Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной величиной (present value), или современной стоимостью S. Современная стоимость может быть рассчитана на любой момент до выплаты суммы S.

11. Рента: Наращенная сумма ренты. Годовая рента (k=1) с начислением процентов m-раз в год. k – срочная рента с начислением процентов 1 раз в год (m = 1).

Наращенная сумма ренты - сумма всех членов последовательности рентных платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Годовая рента с начислением процентов m раз в году. Пусть для годовой ренты проценты начисляются m раз в году. Число членов ренты тогда будет равно m∙n, а члены ренты с начисленными к концу срока процентами составят следующий ряд: .Перепишем эту последовательность в обратном порядке. Очевидно, что получим также возрастающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен R, а , тогда сумма членов этой прогрессии составит: . Рента p срочная, m = 1. Пусть рента выплачивается p раз в году равными суммами, а проценты начисляются в конце года, то есть m=1. Если годовая сумма платежа равна CF, то каждый раз будет выплачиваться R/p. Общее число членов ренты будет np. Аналогично предыдущим рассуждениям получим следующую формулу для наращенной суммы: .

12. Формула современной стоимости годовой ренты с начислением процентов m раз в году. Современная стоимость k- срочной годовой ренты (m = 1). Современная стоимость k- срочной ренты при m=k. Пренумерандо формулы.

Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а заменим в формуле (4.14) дисконтный множитель (1 + i)^-n на эквивалентную величину (1 +j/m)^-mn, соответственно i заменим на (1 +j/m)^m - 1, после чего имеем:

(4.16)

Рента p-срочная (m = 1). Если платежи производятся не один, a p раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как и в случае годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов np. Сумма дисконтированных платежей равна:

(4.17)

Рента p-срочная (p = m). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m. В итоге

(4.18)

Под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов

Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как больше в (1 + i) раз аналогичной ренты постнумерандо.

Таким образом,

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начислением процентов m раз в году:

Для p-срочной ренты получим:

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями рент постнумерандо и пренумерандо:

и т. д.