2. Расчет наращенной суммы при начислении простых процентов. Расчет наращенной суммы по сложным процентным ставкам.

Под наращенной суммой понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока .Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга (principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит от вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

Для записи формулы наращения простых процентов (simple interest) примем обозначения:

I — проценты за весь срок ссуды; P — первоначальная сумма долга; S — наращенная сумма, или сумма в конце срока;i — ставка наращения (десятичная дробь); n — срок ссуды.

Срок обычно измеряется в годах, соответственно i — годовая ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi. Начисленные за весь срок проценты (accrued interest) составят I=Pni.

Наращенная сумма, таким образом, находится как

S = Р+ I = Р(1 + ni). Выражение (1.1) называют формулой наращения по простым процентам или кратко — формулой простых процентов, а множитель — множителем наращения простых процентов.

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения, как правило, применяют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени, абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что применяется сложная годовая ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым процентам.

Ставку наращения по сложным процентам обозначим как i. В тех случаях, когда одновременно речь идет о простых и сложных процентах, для ставки простых процентов применим подписной индекс s. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = P(1 + i). К концу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 + i)² и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна

S = P(1+ i)ⁿ. Проценты за этот же период равны

I = S - P = P[(1 + i)ⁿ - 1].

3.Эффективная и номинальная ставки процентов. Номинальная, периодическая, эффективная ставки. Учет инфляции при определении реального процента.  Процентное число и процентный ключ.

В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (2.1), однако параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период. Итак, пусть годовая ставка равна у, а число периодов начисления в году равно т. Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной (nominal rate).

Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

S = P(1 + j/m)^N, где N — общее количество периодов начисления;j — номинальная годовая ставка (десятичная дробь).

Номинальная процентная ставка (у) – исходная годовая ставка, которую назначает банк для начисления %. С исходной (номинальной) величине данная ставка м.б. использована при начислении % 1 раз в год.

Если % начисляются (m) раз в году, то для разового начисления % используется периодическая ставка (У_р). Иногда ее называют релятивной. Период, за который начисляются %, называется конверсионным.

У_р м.б. определена 2 способами:

1. если известно количество начислений % в течение года

У_р=у/m

2. если известно количество дней (Z), за которые начисляются %

У_р =у*(Z/k), где

k- временная база (продолжительность года).

Введем теперь новое понятие — действительная, или эффективная, ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m. Обозначим эффективную ставку через i. По определению множители наращения по двум видам ставок (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:

,

Откуда Как видим, эффективная ставка при т > 1 больше номинальной, при т = 1 i =j.

Инфляция – это обесценивание денег, проявляемое в росте цен. Темп инфляции – это темп прироста цен за данный период (α).

Чтобы определить темп инфляции за период t по данным о значении этого показателя за более короткие промежутки рассматриваемого периода необходимо:

• Перейти от приростного показателя за короткие промежутки к показателям темпа роста цен.

• Перейти от темпа роста к коэффициенту роста 

• Определить годовой коэффициент роста цен: перемножим коэффициенты за исследуемые периоды

• Темп инфляции за год

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:

Сумма реального дохода определяется:

Формула Фишера связывает три показателя:

R – номинальная процентная ставка. α – уровень инфляции. r – реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

(1+R) = (1+α)(1+r) R = r+α+r*α r = (R – α)*(1+α)

На практике для начисления процентов часто определяют процентное число и процентный ключ (дивизор). Если ставку  измерять в процентах, то

 

Процентное число

Процентный ключ