П.4 Диаграммы Эйлера-Венна.

Д ля наглядного представления (графического изображения) множеств и результатов операций над ними удобно пользоваться так называемыми диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера).

При этом множества изображаются на плоскости в виде замкнутых кругов, а универсальное множество в виде прямоугольника. Элементы множества – точки внутри соответствующего круга.

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рис.6):

m (АВС) = m (А) + m (В) + m (С) - m (АВ) – m (АС) –

– m (ВС) + m (АВС) (4).

Примеры

Пример 1. Записать множество всех натуральных делителей числа 15 и найти число его элементов.

Решение: А={1, 3, 5}, m (А)=3. 

Пример 2. Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15}, В={1, 3, 4, 8, 16}, С={12, 13, 15, 16}, D={0, 1, 20}. Найти АВ, СD, ВС, АD, А\С, D\В, АВС, АВС, ВDС, АС\D.

Решение: Будем пользоваться определениями соответствующих операций и учтем, что сначала должна выполняться операция пересечения множеств, а затем уже объединение или разность. Получим

АВ={1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16}, СD={0, 1, 12, 13, 15, 16, 20}, ВС={16}, АD=, А\С={2, 3, 5, 8}, D\В={0, 20}, АВС={1, 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15, 16}, АВС=, ВDС={1, 3, 4, 8, 16}, АС\D={13, 15}. 

Пример 3. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен 210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?

Решение: Пусть А – множество абитуриентов, выдержавших экзамен, В – множество абитуриентов, получивших оценку ниже 5, по условию m (A)=210, m (В)=180, m (AB)=250. Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество АВ. Из формулы (2) находим m (AB) = m (A) + m (В) - m (AB) = 210 + 180 – 250 = 140.

Пример 4. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах?

Решение: Множество учеников школы будем считать основным множеством U, А и В – соответственно множества учеников, умеющих кататься на лыжах и на коньках (рис. 9).

Учащиеся, не умеющие кататься ни на лыжах, ни на коньках, составляют множество А’В’.

m (АB) = m (А) + m (В) - m (АB) = 862. 

Пример 5. Показать на кругах Эйлера множество

( А’\В’)(ВС).

Решение:

З

Рис. 10

адачи для самостоятельной работы.

1. Записать множества А, В и С перечислением их элементов и найти АВ, ВС, (АВ)С, АВС, АВС, А\ВС, (А\В)С, (АС)\(СВ), если: а) А – множество делителей числа 12, В – множество корней уравнения х²–6х+5=0, С – множество нечетных чисел х таких, что 3  х  12; б) А – множество четных чисел х, 3  х 10; В – множество делителей числа 21, С – множество простых чисел, меньших 12.

2. Даны множества: А=[-5, 1], В=(0, 4], С=(-7, 0], D=[-3, 0], K={1,3,5,7}. Найти следующие множества: А\В, ВС, С\D, В\К, К\D, ВСD, ВК\А и изобразить их на координатной прямой.

3. Привести примеры числовых множеств А и В таких, что

а) АВ=R, АВ=; б) АВ=А, АВ=В.

4. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

5. В олимпиаде по математике принимало участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по геометрии, одну – по алгебре и одну – по тригонометрии. Результаты проверки решений представлены в табл.:

Решены задачи	Количество решивших	Решены задачи	Количество решивших
По алгебре По геометрии По тригонометрии	20 18 18	по алгебре и геометрии по алгебре и тригонометрии по геометрии и тригонометрии	7 8 9

Известно также, что ни одной задачи не решили трое. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько учащихся решили ровно две задачи?

6. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того ни другого. Сколько ребят умеют плавать и играть в шахматы?

7. Среди абитуриентов, выдержавших приемные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике – 48 абитуриентов, по физике – 37, по русскому языку – 42, по математике или физике – 75, по математике или русскому языку – 76, по физике или русскому языку – 66, по всем трем предметам – 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятерку? Сколько из них получили только одну пятерку?

8. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 5, английский и французский – 7, французский и немецкий – 2. Все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов не изучают ни одного языка? Сколько студентов изучают только английский (немецкий, французский) язык?

9. Изобразить на кругах Эйлера следующие множества:

а) (АС)\ (ВС’); б) (АВ)’(С\В’); в) (А’В’)\ (СВ);

г) (АВ’)\ (С’В); д) (А\В)’(СВ); е) (АВ’)(С’\В).

10. Даны множества: А – всех трапеций, В – всех прямоугольников, С – четырехугольников, D – квадратов, Е – всех параллелограммов, К – всех многоугольников. Выпишите буквы, обозначающие эти множества, в таком порядке, чтобы каждое последующее обозначало подмножество предыдущего.