П.7 Неопределенный интеграл

Наряду с задачами, в которых по заданной функции надо найти ее производную, встречаются задачи, в которых по заданной производной надо найти функцию, которую дифференцировали. Эту функцию называют первообразной для заданной. Т.о., функция y=F(x) является первообразной для функции y=f(x) в том и только том случае, когда (x)=f(x).

Пример 8.7.1. функция y=x³ является первообразной для функции y=3x², так как =3x². Кроме этой функции, любая функция вида y=x³+C , где С – произвольная постоянная, является первообразной для y=3x², т.к. =3x².

Т.о., функция имеет множество первообразных. Совокупность всех первообразных для функции y=f(x) называют неопределенным интегралом этой функции и обозначают

Т.о., , где С – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла:

1. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Пример 8.7.2. Вычислить интеграл

Решение:

Основные формулы:

П.8 Определенный интеграл

Из-за того, что в выражение неопределенного интеграла входит произвольная постоянная С, нельзя найти значение этого интеграла при заданном значении x. Тем не менее можно найти разность значений интеграла в данных точках b и а. В самом деле, каково бы ни было С, имеем:

[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).

Это равенство показывает, что для всех первообразных функции y=f(x) разность их значений в точках b и а одна и таже, она не зависит от С. Поэтому разность значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a называют определенным интегралом от этой функции по отрезку [a;b]. Определенный интеграл по отрезку [a;b] обозначают: . Т.о., , где F(x) – первообразная для f(x). Разность F(b)-F(a) обозначается

Свойства определенных интегралов:

1.

2.

3. Если a<c<b, то

4.

Пример 8.8.1. Вычислить определенный интеграл

Решение:

Задачи для самостоятельной работы

1. Маша нашла 6 грибов, а Коля на x грибов больше. Чему равно число y грибов, которые они собрали вместе? Запишите соответствие между x и y и найдите область определения полученной функции и область значений. Изобразите график.

2. Постройте график и найдите множество значений функции , x{-2, -1, 0, 1, 2}.

3. Запишите первые пять членов последовательности:

4. Найдите одну из формул общего члена последовательности, зная несколько первых членов: а) б) 2, 5, 10, 17, 26, …

5. Последовательность задана рекуррентным соотношением . Напишите ее первые шесть членов, если а₁=1, а₂=3.

6. Вычислите пределы следующих последовательностей:

а) , б) , в)

7. Вычислите пределы следующих функций:

а) , б) , в)

8. Найдите приращение функции y=x²-4x+3, если x=1, x=0,1.

9. Найдите дифференциалы и производные (используя определение) следующих функций: а) y=4x²+6x-1, б) y=x³-x².

10. Напишите уравнение касательной, проведенной к графику функции y=x² в точке с абсциссой 5.

11. Найдите производные следующих функций:

а) у= , б) y= , в) y=

12. Вычислите следующие неопределенные интегралы:

а) , б) , в) .

13. Вычислите следующие определенные интегралы:

а) , б) , в) .