1. По свойству касательных осq, obp. Проведем луч из точки а через центр окружности. 2. Рассмотрим образовавшиеся треугольники аос и аов.

прямоугольные по гипотенузе и катету.

3. Из

4. Из

Билет № 10.

1. Определение равных углов, биссектрисы угла. Аксиома откладывания углов (формулировка, чертеж, символическая запись).

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а общее начало лучей – вершиной угла. Угол разделяет плоскость на две части. Одна из частей называется внутренней областью угла, а другая – внешней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Определение 1. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть имеются два угла АОВ и МРС. Совместим вершины углов: точки О и Р. Направим луч РС вдоль луча ОВ. Если при этом луч РМ накладывается на луч ОА, то АОВ = МРС.

Определение 2. Две угла называются равными, если они имеют одинаковую градусную меру.

Аксиома откладывания углов:

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и притом только один.

На прямой n выберем точку N. От луча NB откладываем угол с вершиной в точке N и строим луч NA.

Аксиома взаимного расположения лучей на плоскости.

Из трех различных лучей, лежащих в одной полуплоскости и имеющих общее начало, один и только один луч лежит между двумя другими.

Чтобы сравнить два угла, нужно наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон. Если две другие стороны также совместятся, то углы равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. У меньшего угла градусная мера меньше. COB < AOB.

Неразвернутый угол составляет часть развернутого, поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла равны.

Определение 3. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

OC – биссектриса. COB = AOС = AOB.

2. Определение окружности, описанной около треугольника. Доказать теорему о центре описанной окружности. Описать окружность около остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника.

Определение 1. Треугольник называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

Теорема 1. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Д ано:  АВС; KK₁, NN₁, PP₁ -

серединные перпендикуляры.

Доказать: KK₁ ∩ NN₁ = {O};

KK₁ ∩ PP₁ = {O}.

Доказательство: