3. Окружности имеют одну общую точку (окружности касаются).
Возможны два случая касания окружностей:
Случай 1. Внутреннее касание. См. рисунок 4. Проведем линию центров (О1О2).
Две окружности имеют внутреннее касание тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности радиусов. При этом точка касания лежит на продолжении линии центров. Отрезок О1О2 = R2 – R1.
Случай 2. Внешнее касание. См. рисунок 5. Проведем линию центров (О1О2).
Две окружности имеют внешнее касание тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно сумме радиусов. При этом точка касания лежит на линии центров.
Отрезок О1О2 = R1 + R2.
2. Доказать неравенство треугольника.
Теорема о неравенстве треугольника: Во всяком треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон, но больше их разности.
Д
ано:
АВС:
ВС = а; АВ = с; АС = b.
Доказать:
Доказательство:
1. Дополнительное построение:
а) На продолжении стороны АС отложим отрезок CD = BC.
б) Соединим точки B и D.
2. Рассмотрим вcd:
а) BC = CD (по построению) BCD – равнобедренный CBD = CDB (углы при основании).
б) АBD = ABC + CBD > CDB AD > AB.
3. AD = AC + CD AC + CD > AB.
4. AC = AD – CD AD – CD < AB.
Следствие
1.
Для любых точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, имеют место
неравенства:
Следствие 2. Во всяком многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех других сторон.
Следствие
3.
Если для трех точек А, В, С выполняется
равенство:
то эти точки лежат на одной прямой,
причем точка В лежит между точками
А и С.
Билет № 25.
1. Определение параллельных прямых. Сформулировать и доказать признаки параллельности прямых.
О
пределение.
Две прямые называются параллельными,
если они не пересекаются, сколько
бы их не продолжали.
Т еорема. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются (параллельны).
Д ано: а – прямая;
Доказать:
Доказательство:
1) Допустим, что Мысленно перегнем чертеж по прямой а так, чтобы верхняя часть чертежа наложилась на нижнюю.
2) Так как то луч РА наложится на луч РА1. Аналогично луч QB наложится на луч QB1.
3) Если то эта точка наложится на некоторую точку М1, также лежащую на прямых АА1 и ВВ1, т. е.
4) Тогда через две точки М и М1 проходят две прямые АА1 и ВВ1, что противоречит аксиоме существования прямых. Следовательно, прямые АА1 и ВВ1 не пересекаются, а значит, по определению параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы равны. Докажем, что aIIb.
1)
2) Проведем через середину отрезка АВ. На прямой b от точки В отложим отрезок BH1 = AH. Проведем отрезок ОH1.
3) Рассмотрим ∆AHO и ∆BH1O.
4) Из
5) Из
6) Из
7)
Т еорема 2. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1)
2) и являются внутренними накрест лежащими
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
1)
2) и являются внутренними накрест лежащими