1) Cd не пересекает окружность,

2) Cd пересекает окружность.

При первом предположении построим какую-нибудь касательную C₁D₁ к окружности, не пересекающую отрезок CD. Тогда по необходимому условию для описанного четырехугольника ABC₁D₁ имеем: AB + C₁D₁ = BC₁ + AD₁. Но т. к. BC₁ = BC − CC₁, AD₁ = AD − DD₁, то AB + C₁D₁ = BC − CC₁ + AD − DD₁, откуда C₁D₁ + CC₁ + DD₁ = BC + AD − AB.

Из условия AB + CD = BC + AD следует BC + AD − AB = CD.

Следовательно, C₁D₁ +CC₁ +DD₁ =CD.

О казалось, что в четырехугольнике CC₁D₁D одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично опровергается второе предположение. Теорема доказана.

2. Что называется расстоянием между параллельными прямыми? Доказать, что расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны.

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми a и b является длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой а (точки Р) на прямую b. PQ  b. Длина отрезка PQ - расстояние между параллельными прямыми a и b.

Теорема. Расстояние между параллельными прямыми не зависит от выбора точки, из которой проведен перпендикуляр.

П остроим перпендикуляр из точки К к прямой b. KN  b. Соединим точки Q и K. Рассмотрим треугольники PKQ и QNK.

е между