2. Доказать теоремы о величине угла между хордами и секущими.

Т еорема 1 (о градусной мере угла между двумя пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами имеет градусную меру, равную полусумме градусных мер тех дуг, на которые опирается этот угол и угол, вертикальный к нему.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1. Рассмотрим CEB.

Способ 2. Построим AG II CD.

Заметим, что  DG =  AC – симметричны относительно центра окружности.

Т еорема 2 (о градусной мере угла, образованного двумя секущими). Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися в какой-либо точке вне круга, имеет градусную меру, равную половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, высекаемых этими секущими на окружности и заключенными между ними.

Доказать:

Доказательство:

Способ 1.

Рассмотрим  CMB.

Способ 2.

Проведем BE II MC.

Заметим, что  AB =  CE – симметричны относительно центра окружности.

Билет № 26.

1. Что означают слова «фигура состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством? Определение геометрического места точек (ГМТ). Привести примеры. Алгоритм решения задач на построение методом ГМТ.

Пусть геометрическая фигура имеет характерное свойство, определяющее, какие точки принадлежат фигуре. Тогда про эту фигуру говорят, что она является множеством точек, обладающих данным свойством (или геометрическим местом точек, обладающих данным свойством).

Определение 1. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Примеры:

1) Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

2) Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

3) Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Сущность метода геометрических мест точек, используемого при решении задач на построение, заключается в следующем. Пусть, решая задачу на построение, необходимо найти точку А, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F₁, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F₂. Искомая точка, удовлетворяет обоим условиям, т. е. принадлежит обеим фигурам, а значит, является точкой их пересечения.

Алгоритм решения задачи на построение методом ГМТ.

1. Выделить геометрические места точек, которым принадлежит данная точка.

2. Построить выделенные геометрические места точек.

3. Определить точки пересечения построенных ГМТ.

4. Доказать, что именно эти точки пересечения соответствуют условиям задачи.

Пример решения задачи методом ГМТ.

Задача: Даны четыре точки A, B, C, D. Найдите такую точку Х, которая равноудалена от точек C и D и от сторон угла АВС.

1 ) Анализ задачи. Чтобы точка Х была равноудалена от сторон угла, она должна находиться на биссектрисе этого угла согласно обратной теореме о характерном свойстве биссектрисы угла. Чтобы точка Х была равноудалена от точек С и D, она должна находиться на серединном перпендикуляре к отрезку CD согласно обратной теореме о характерном свойстве серединного перпендикуляра к отрезку. Точка, удовлетворяющая обоим условиям, лежит на пересечении биссектрисы и серединного перпендикуляра.

2) План построения.

1. Построить биссектрису BT угла АВС.

2. Построить серединный перпендикуляр к

отрезку CD – прямую р.

3. Найти точку пересечения прямых ВТ и р.

3) Доказательство. Построенная точка Х лежит на биссектрисе угла АВС. Из рассмотрения треугольников ВЕХ и ВМХ легко доказывается равенство отрезков МХ и ЕХ, т. е. равноудаленность от сторон угла. Построенная точка Х лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD и пересекает его в точке О. Из рассмотрения треугольников DOХ и COХ легко доказывается равенство отрезков DХ и CХ, т. е. равноудаленность от концов отрезка. Построенная точка Х – искомая.

4) Исследование. Задача не имеет решения, если прямые ВТ и р параллельны, т. е. если прямая ВТ перпендикулярна отрезку CD. Задача имеет множество решений, если прямые ВТ и р совпадут, т. е. если биссектриса ВТ окажется серединным перпендикуляром к отрезку CD. Во всех остальных случаях задача имеет единственное решение, так как прямые могут пересекаться только в одной точке.

2. Доказать теоремы о хордах и дугах.

Т еорема 1. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра.

Дано: О – окружность; АВ и CD – хорды;

OC  АВ; OF  DE.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим точки В и Е с центром окружности. ОЕ = ОВ = R.

2. Рассмотрим треугольники СОВ и EOF.

3. BC =EF  AB=ED.

Теорема 2 (обратная). Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от центра.

Теорема 3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.

Дано: О – окружность; АОВ =DОЕ.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорд АВ и DE с центром окружности. OA = OB = ОЕ = ОD = R.