Пример 3.3

Определить скорость и ускорение звена 5 механизма изображенного на рисунке 3.6,а в положении, когда ₁=135°.

Размеры звеньев механизма заданы:

l_ОА = 0,06 м ; l_AB = 0,12 м; 1_BC = 0,08 м; x₁ = 0,054 м ; у = 0,056 м;

х₂ = 0,087 м. Частота вращения кривошипа известна: n = 190 об/мин.

Решение.

Выполняем структурный анализ механизма. Число степеней свободы механизма:

W = 3n–2p₅–p₄ =3·5–2·7= 1.

Следовательно, в механизме одно входное звено (один механизм I класса).

Структурная формула механизма: I (0,1)→II(2,3)→II(4,5).

Согласно структурной формуле последовательность кинематического анализа следующая:

А С В D₃ Е₀ D₅,

где т. А – конец кривошипа;

т.т. А,С – внешние точки диады 2,3, т. В – внутренняя;

D₃ и Е₀ – внешние точки диады 4,5, т. D₅ – внутренняя.

В такой последовательности будем строить план положения механизма методом засечек.

Принимаем ОА = 30 мм. Тогда

.

Коэффициент длин стандартный и соответствует чертежному масштабу М1:2.

Построение плана скоростей начинаем с определения скорости конца кривошипа т. А:

^.

Эту скорость изображаем отрезком = 60мм.

Тогда масштабный коэффициент скоростей

^.

Коэффициент стандартный. Вектор , т.к. кривошип вращается, и направлен в сторону его вращения.

Переходим к диаде (2,3). Т. А является внешней точкой этой диады, а скорость т. С Vc = 0, т.к. точка неподвижна. Тогда можно рассмотреть скорость движения внутренней точки диады (т. В), соединяющей звенья этой диады, по отношению к внешним точкам диады и запишем два векторных уравнения:

^, (3.16)

где , т.к. обе точки принадлежат одному и тому же звену 2, которое имеет плоскопараллельное движение; т. к звено 3 имеет вращательное движение. Уравнения (3.16) решаем графически. Согласно первому уравнению через точку «а» проводим прямую к АВ, а согласно второму уравнению, через полюс « » проводим перпендикуляр к ВС. На пересечении перпендикуляров получим точку «b».

Для нахождения удобно воспользоваться свойством подобия, согласно которому откуда

где замеряют в мм на плане скоростей, а СД – в мм на плане положения механизма.

Переходим к группе Ассура (4,5). В ней известны скорости точек Д₃ и Е₀, расположенной на стойке. Точка Д₅ – центр шарнира является внутренней точкой диады (4,5). Рассмотрим движение этой точки по отношению к т. Д₃, а затем т. Е₀ и запишем два векторных уравнения:

(3.17)

║СД, т.к. Т. Д₃ принадлежит звену 3, а т. Д₅ – одновременно звеньям 4 и 5, т.к. вращательная пара соединяет эти звенья, т.е. т. Д₃ – это точка кулисы, а т. Д₅ точка кулисного камня, а кулисный камень по кулисе движется поступательно прямолинейно. ║‌‌ДЕ, т.к. ползун 5 относительно стойки движется поступательно прямолинейно. Поэтому на плане скоростей из т. d₃ проводим прямую параллельно СД, а т.к. V_Е = 0, то из т. «p_v» – прямую ║ ДЕ и на пересечении этих линий получим точку «d₅».

Умножая отрезки на плане скоростей на масштабный коэффициент , определяем величины скоростей. Причем векторы, идущие из полюса p_V, изображают абсолютные скорости, а отрезки, соединяющие концы этих векторов – относительные скорости точек.

Получаем:

^,

^,

Вычисляем модули угловых скоростей и звеньев 2 и 3:

^,

^.

Направление определяем, перенося вектор направленный от точки «а» к точке «b» (по правилу сложения векторов в первом уравнении системы (16)) в т. В звена и рассматривая движение т. В относительно т. А в направлении (по часовой стрелке). Направление определяем, перенося вектор в т. В звена 3 и рассматривая движение т. В относительно т. С в направлении этого вектора (так же по часовой стрелке).

Последовательность построения плана ускорений точно такая же, как и плана скоростей.

Так как кривошип вращается равномерно, то.

^.

Изображаем это ускорение отрезком = 60мм. Тогда масштабный коэффициент ускорений будет соответствовать рекомендуемым значениям

^.

Так как ускорение а_А состоит только из нормального ( = 0),то вектор направляем по звену ОА к точке О (рис. 2.5). Это план ускорений кривошипа.

Рассматриваем структурную группу (2,3). В ней известны ускорения внешних точек диады (т. А и т. С). Составим для определения а_B систему двух векторных уравнений, в которых рассмотрим движение т. В сначала относительно т. А, а затем по отношению к т. С.

(3.18)

Направления векторов в уравнениях (3.18) записаны исходя из того, что звено 2 имеет плоскопараллельное движение (первое уравнение), а звено 3 –вращательное (второе уравнение).

Вычислим величины нормальных составляющих ускорений:

^,

^.

Нормальные составляющие ускорений представим в виде отрезков:

В соответствии с первым уравнением из точки «а» в направлении от В к А откладываем отрезок , из конца которого проводим линию AB. Согласно второму уравнению их точки «π» плана в направлении от т. В к т. С откладываем отрезок и из точки « » проводим линию ВС. На пересечении перпендикуляров получим точку «b».

Ускорение точки Д₃ находим, используя свойство подобия и сходственности расположения относительных ускорений точек звена 3.

Согласно этому свойству составим пропорцию:

^откуда

Отрезок замеряем на плане ускорений, а СД – на плане положения механизма.

Фигура ВСД на звене должна быть сходственно расположена с фигурой на плане ускорений (обход точек против хода часовой стрелки).

Теперь рассмотрим структурную группу (4,5). Рассуждая аналогично с построением плана скоростей группы, запишем два векторных уравнения, в которых ускорение внутренней точки диады выражается при рассмотрении ее движения относительно внешних точек диады:

(3.19)

В первом уравнении описывается движение кулисного камня (т. Д₅) относительно кулисы 3 (т. Д₃). Т.к. в первом уравнении описывается сложное движение т. Д₅, которое состоит из относительного движения кулисного камня по кулисе и переносного движения т. Д₃ кулисы 3 относительно неподвижной т. С. В данном механизме переносное движение (движение кулисы) вращательное. Следовательно, возникнет ускорение Кориолиса , которое определяется по формуле:

^,

^{т.к. , то =1.}

Тогда применительно к кулисному механизму, ускорение Кориолиса определяется как удвоенное произведение угловой скорости кулисы на скорость относительного движения кулисного камня по кулисе.

Следовательно,

^.

На плане ускорений ускорение Кориолиса изобразится в виде отрезка , величина которого определится по формуле:

^.

Направление ускорения Кориолиса определится по правилу Жуковского, согласно которому вектор относительной скорости кулисного камня по кулисе нужно повернуть на 90° в сторону вращения кулисы.

В данном примере вектор на плане скоростей , который по правилу сложения векторов направлен от точки «d₃» к точке «d₅», нужно повернуть па 90° по часовой стрелке (направление ). Поэтому ускорение будет направлено вниз СД.

Решаем векторные уравнения (3.19) графически. В соответствии с первым уравнением из точки «d₃» СД вниз откладываем отрезок [d₃к], из конца которого проводим линию ║СД. В этом уравнении =0 , т.к. движение кулисного камня по кулисе прямолинейное. Согласно второму уравнению системы (3.19) из полюса плана «π» проводим линию ║ДЕ. На пересечении двух линий первого и второго уравнений получим точку «d₅». План ускорений построен. Из этого плана определяем величины абсолютных ускорений точек звеньев:

^,

^,

^.

А также величины относительных касательных ускорений:

^,

Определяем величины угловых ускорений звеньев

^.

Перенося вектора и ускорений и , в точку В, находим направление угловых ускорений ( направлено против хода часовой стрелки, а – по ходу часовой стрелки).

Пример 3.3

Определить скорость и ускорение ползуна Д механизма, изображенного на рис. (3.7) в положении, когда φ₁ = 45° .

Размеры звеньев механизма заданы:

l_ОА = 0,15 м; l_ОС = 0,2 м; l_AB = 0,575 м; l_АД = 0,35 м; у = 0,11 м. В данном положении механизма ₁= 10с^-1; = 20с^-2 .

Решение:

Выполняем структурный анализ механизма.

Число степеней свободы механизма:

W = 3n–2p₅–p₄ =3·5–2·7 = 1.

Следовательно, в механизме одно входное звено.

Структурная формула механизма:

I(0,1)→II(2,3)→II(4,5).

Согласно структурной формуле последовательность кинематического анализа следующая:

А→С₀ →С₂ →В→Д₀→Д₅,

где т. А – конец первого звена, т.т. А и С₀ внешние точки диады (2,3);

т. С₂ – внутренняя точка этой диады.

В диаде (4,5) т. В и т. Д₀ – внешние точки диады, т. Д₅ – внутренняя точка.

Строим механизм в заданном положении.

Выбираем масштабный коэффициент длин:

^.

Тогда отрезки, изображающие длины звеньев будут

АВ = 115 мм; ОС = 40 мм; ВД = 70 мм; [у] = 22мм.

Построение плана скоростей начинаем с определения скорости конца кривошипа т. А

^.

Отрезок изображающий V_A, принимаем =75мм. Тогда масштабный коэффициент скоростей

Откладываем в сторону ₁.

т.к. эта точка неподвижна и на плане скоростей будет размещаться в полюсе p_V плана. Для т. С₂ составим систему двух векторных уравнений:

(3.20)

т.к. обе точки принадлежат звену 2, имеющему плоскопараллельное движение, т.к. т. С₂ принадлежит кулисе 2, а С₀(С₃) – кулисному камню, а движение кулисы 2 в кулисном камне 3 прямолинейное. Решаем уравнения (20) графически. Получим точку «с₂» на плане. V_B находим методом подобия, т.к. на звене 2 известны уже скорости т.т. А и С₂. Точки А, С₂ и В на звене образуют прямую линию, в такой же последовательности эти точки расположатся на плане скоростей. Составим соответствующую пропорцию:

Построенную на плане точку «b» соединяем с полюсом плана скоростей. Этот вектор изображает .

Переходим к определению скоростей в диаде (4,5). =0, т.к. точка Д₀

принадлежит стойке О.

Для точки Д₅ составим два векторных уравнения:

(3.21)

, т.к. т. В и т. Д₅ принадлежат звену 4, совершающему плоскопараллельное движение. ║оси X, т.к. точка Д₃ принадлежит ползуну 5, а т. Д₀ – стойке. Ползун относительно стойки движется по прямой X. Решаем систему (3.21), графически получим точку «d₅». План скоростей построен. Из него получаем абсолютные скорости:

^,

^,

^.

Относительные скорости:

^,

^.

Вычисляем модули угловых скоростей звеньев 2 и 4:

Направление ₂ определяем, перенося вектор в т. С₂ механизма (по часовой стрелке), направление ₄ определяем, перенося вектор в т. Д механизма (против хода часовой стрелки).

В той же последовательности строим план ускорений. Ускорение конца кривошипа состоит из двух составляющих:

^,

^,

^.

Выбираем масштабный коэффициент плана ускорений. Выбираем отрезок =75 мм, изображающий .

Тогда изображаем отрезком

^.

Ускорение нормальное т. А ║ОА и направлено от т. А к т. О. Ускорение и показывается на плане отрезком отложенным в направлении . Соединив точку «а» с полюсом плана ускорений получим абсолютное ускорение т. А.

Переходим к структурной группе (2,3). , т.к. точка неподвижна. Для внутренней точки данной диады составим систему двух уравнений:

(3.22)

Направления ускорений указаны согласно аналогичным рассуждениям при построении плана скоростей.

В первом уравнении:

Отрезок, изображающий :

Во втором уравнении системы (22)

Отрезок, изображающий это ускорение на плане ускорений

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Для этого вектор поворачиваем на 90° по часовой стрелке (направление ₂). Поэтому будет направлено влево АС. Решая графически систему (22), получим ускорение т. С₂.

Ускорение т. В находим методом подобия, составив пропорцию:

^Откуда

Соединив точку «b» с полюсом плана ускорений получим абсолютное ускорение точки В.

Определяем ускорения в структурной группе (4,5): =0. Для внутренней точки диады Д₅ составим два векторных уравнения:

(3.23)

В первом уравнении определяем :

^.

На плане ускорений отрезок, изображающий это ускорение будет равен:

Следовательно, на плане ускорений этот отрезок не показываем. Решаем систему уравнений (23) графически. Получим ускорение точки Д₅. План ускорений построен. Из него получаем абсолютные ускорения точек звеньев:

^{, ,}

^{, .}

Относительные касательные ускорения:

^{, .}

Определяем величины угловых ускорений ₂ и ₄ звеньев 2 и 4:

^{, .}

Перенося вектор ускорения в точку С звена 2 и повернув звено в направлении вектора относительно т. А, получим направление ₂ против хода часовой стрелки.

Вектор ускорения перенесем в т. Д звена 4 и повернем звено в направлении этого вектора вокруг полюса В. Получим направление углового ускорения звена 4 (против хода часовой стрелки).