3.2 Определение скоростей и ускорений в плоских рычажных механиз- мах аналитическим методом.

Угловые скорость и ускорение звена определяют двухкратным дифференцированием по времени зависимости, содержащий угол поворота этого звена.

Скорость и ускорение точки звена определяют двухкратным дифференцированием по времени радиус-вектора этой точки.

Однако при решении задач о положениях звеньев не всегда удается получить аналитическое выражение угла поворота звена или радиус вектора точки достаточно простым для дифференцирования. Поэтому удобнее непосредственно дифференцировать правые и левые части уравнений для определения положений звеньев, т.к. получаемая система уравнений для определения скоростей и ускорений оказывается всегда линейной.

Так, например, для шарнирного четырехзвенника на рисунке 1.1 для определения угловых скоростей звеньев 2 и 3 необходимо продифференцировать по времени уравнения (2) и (3):

^; (3.4)

^. (3.5)

При условии, что ₁ = const и задана, в уравнениях (4) и (5) неизвестными остаются ₂ и ₃, которые можно определить, решив совместно эти уравнения.

Для определения угловых ускорений звеньев 2 и 3 шарнирного четырехзвенника необходимо продифференцировать по времени уравнения (4) и (5):

^; (3.6)

(3.7)

В уравнениях (6) и (7) неизвестными являются только угловые ускоре­ния звеньев ₂ и ₃ ,которые можно определить при совместном решении этих уравнений при любом значении угла ₁.

Пример 1.1

Для механизма, изображенного на рисунке 3.2 определить положение и скорость звена 5, при заданном угле ₁ ,₁ = const и заданных длинах звеньев.

Дано:

Определить:

1) ,

2) .

В этом механизме нужно рассмотреть два замкнутых контура: ОАСО и СКВС. Условия замкнутости в векторной форме:

^{для контура ОАСО;} (3.8)

^{для контура СКВС.} (3.9)

Проекция уравнения (8) на оси координат:

^; (3.10)

(3.11)

В этих уравнениях и ₃ величины переменные, подлежащие определению.

Разделим уравнение (11) на (10):

Отрезок показывает положение кулисного камня 2 на кулисе 3.

^.

Проекции уравнения (9) на оси координат:

^; (3.12)

(3.13)

Из уравнения (3.12)

^.

Дифференцируя по времени уравнения (10), (11) и (12) получим формулы для определения скоростей.

Угловая скорость кулисы

.

Скорость скольжения кулисного камня 2 по кулисе 3

^.

Скорость звена 5

_.

Знак «–» говорит о том, что в данном положении механизма звено 5 движется противоположно направлению оси X.

Если закон изменения обобщенных координат предварительно неизвестен, то дифференцировать уравнения замкнутости нужно по обобщенным координатам. Тогда угловая скорость звена i и скорость точки i звена могут быть представлены:

;

.

Угловое ускорение звена i и ускорение точки i звена могут быть определены как производные двух функций:

^;

^.

При ₁ = const; (₁ = 0) расчетные формулы кинематических параметров ведомого i-гo звена примут вид:

;

^{; ; .}

где ; ; ; – передаточные функции первого и второго порядков (аналоги скоростей и аналоги ускорений), зависящие только от структуры и геометрии механизма и независящие от абсолютной скорости начального звена.