3.2. Эквивалентное определение компактного пространства

Определение 8. Если каждому элементу некоторого непустого множества поставлено в соответствие некоторое множество, то говорят, что задано семейство или лаконично - .

Определение 9. Семейство открытых подмножеств метрического пространства называется открытым покрытием , если .

Определение 10. Часть семейства , которая сама является покрытием называется подпокрытием.

Теорема 2. Для метрического пространства следующие свойства эквивалентны:

1. метрическое пространство компактно;

2. у любого открытого покрытия пространства существует конечное подпокрытие.

Докажем вначале, что из 2) следует 1). Согласно предложения 1, пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку.

Предположим, что бесконечное подмножество не имеет предельных точек. Отсюда следует, в частности, что подмножество замкнуто. Далее, у каждой точки есть окрестность , не содержащая других точек из . Семейство, состоящее из и всех множеств , , образует открытое покрытие пространства , не обладающее конечным подпокрытием. Полученное противоречие доказывает часть теоремы.

Докажем теперь, что из 1) следует 2). Мы предполагаем, что пространство компактно и поэтому вполне ограничено и полно. Предположим, что существует открытое покрытие пространства , никакое конечное подсемейство которого не покрывает .

Используя то, что вполне ограничено, построим его покрытие конечным числом шаров радиуса . Найдется шар , который не может быть покрыт конечным подсемейством из . Шар также является вполне ограниченным. Покрывая его конечным числом шаров радиуса , найдем шар , пересекающийся с и который не может быть покрыт конечным подсемейством из .

Продолжая рассуждения, построим последовательность шаров , ни один из которых не может быть покрыт конечным подсемейством из и таких ,что пересечения непусты. Отсюда, применяя неравенство треугольника, найдем

.

Из этого неравенства вытекает, что центры шаров образуют фундаментальную последовательность . И поскольку пространство полно, то последовательность сходится к некоторой точке . Эта точка должна принадлежать хотя бы одному множеству семейства , например, множеству . Так как множество открыто, то вместе с точкой оно содержит открытый шар: существует такое число , что .

Теперь выберем так, чтобы одновременно выполнялись два неравенства и . Тогда верно включение . В самом деле, если , то по неравенству треугольника имеем .

Следовательно, шар содержится в одном открытом множестве семейства. Получили противоречие с тем, что шар не может быть покрыт конечным подсемейством из . Теорема полностью доказана.

Приведем лемму, которая характеризует компактные пространства.

Лемма. Пусть - открытое покрытие компактного пространства . Тогда существует такое число , что любой шар с произвольным центром радиуса будет полностью содержаться хотя бы в одном из открытых множеств покрытия.

Доказательство. Предположим противное. Тогда для любого можно найти такую точку , что шар не лежит целиком ни в одном из открытых множеств покрытия . Последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке , так как пространство компактно. Эта точка должна принадлежать хотя бы одному множеству семейства, например, множеству . И поскольку множество открыто, то вместе с точкой оно содержит открытый шар: существует такое число , что .

Как и в теореме 2, можем найти такое число , чтобы . А это противоречит тому, что шар не содержится целиком ни в одном из открытых множеств покрытия. Лемма доказана.

С помощью леммы приведем еще одно доказательство теоремы 2.

Второй способ доказательства теоремы 2. Нужно доказать, что из любого покрытия компактного пространства можно выделить конечное подпокрытие. Согласно лемме, существует такое число , что каждый шар радиуса полностью лежит хотя бы в одном из открытых множеств покрытия . Используя вполне ограниченность пространства , построим его покрытие конечным числом шаров радиуса . Обозначим эти шары лаконично через . Каждый шар , по лемме, целиком содержится в некотором открытом множестве .

И мы построили конечное число открытых множеств , которые покрывают пространство . Доказательство завершено.

В теории метрических и особенно топологических пространств используется другое определение компактного пространства.

Определение 11. Метрическое пространство называется компактным, если у

любого открытого покрытия пространства существует конечное подпокрытие.

Согласно теореме 2, определения 1 и 11 эквивалентны.