3. Компактные метрические пространства

3.1. Определение компактного пространства. Теорема Хаусдорфа

Определение 1. Метрическое пространство называется компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует сходящаяся подпоследовательность.

Предложение 1. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну предельную точку.

Необходимость. Если содержит бесконечное множество точек пространства , то в нем можно взять счетное множество различных точек. По условию теоремы эта последовательность имеет подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке . Тогда точка и будет предельной для множества .

Достаточность. Пусть последовательность точек пространства . Обозначим через множество ее членов. Если множество конечно, то последовательность содержит подпоследовательность с совпадающими элементами (стационарную), которая сходится. Если же бесконечно, то у него есть предельная точка . Поэтому найдется целое число такое, что . Выберем затем такое число , что и , затем найдем такое целое число , что . Продолжая процесс, мы построим подпоследовательность такую, что . Отсюда следует, что построенная подпоследовательность сходится к . Предложение доказано.

Предложение 2. Компактное метрическое пространство полно.

Доказательство. Пусть - фундаментальная последовательность в компактном пространстве . У нее существует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . Тогда, согласно предложения 3 из второй главы, . Предложение доказано.

Обратное утверждение неверно. Прямая, с обычной метрикой – полно, но не компактно.

Определение 2. Метрическое пространство называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого пространства существует фундаментальная подпоследовательность.

Из предложения 2 следует

Предложение 3. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно относительно компактно и полно.

Определение 3. Множество метрического пространства называется компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует сходящаяся подпоследовательность.

Определение 4. Множество метрического пространства называется относительно компактным, если у любой последовательности точек этого множества существует фундаментальная подпоследовательность.

Предложение 4. Относительно компактное множество ограничено.

Докажем от противного. Пусть относительно компактное множество не ограничено. Возьмем любую его точку и положим . Поскольку не ограничено, то в нем найдется такая точка , что . Положим . Множество не может содержаться в шаре , поэтому в найдется точка такая, что . Полагаем и продолжаем этот процесс до бесконечности. В результате получим последовательность точек и возрастающую последовательность чисел .

При всех , по построению, выполняется неравенство

.

Отсюда при любых имеем

. (3.2)

Далее из неравенства треугольника

с учетом неравенства (3.2) и соотношений , получаем окончательно неравенство

. (3.3)

Как следует из определения, никакая подпоследовательность, выделенная из , не может быть фундаментальной. Полученное противоречие доказывает предложение.

Определение 5. Пусть и подмножество метрического пространства . Множество называется - сетью для множества , если для любой точки существует точка такая, что .

Геометрически это определение означает, что множество содержится в объединении шаров радиуса с центрами в точках множества .

Определение 6. Множество называется вполне ограниченным, если для любого в существует конечная - сеть для .

Вполне ограниченное множество может быть покрыто конечным числом шаров с произвольным заданным радиусом . Важное место занимает теорема.

Теорема 1(Хаусдорф). Метрическое пространство относительно компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Необходимость докажем от противного. Пусть для пространства при некотором не существует - сети. Возьмем произвольную точку . Множество , состоящее из одного элемента, не образует - сеть для . Поэтому найдется точка такая, что .

Множество также не образует - сеть для , следовательно, найдется , причем , . Продолжая этот процесс, мы построим последовательность такую, что

, , .

Из этой последовательности нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность, что противоречит относительной компактности .

Достаточность. Пусть вполне ограничено и - произвольная последовательность. Возьмем последовательность чисел , . Построим конечную - сеть для , т.е. покроем конечным числом шаров радиуса . В один из этих шаров попадет бесконечная подпоследовательность последовательности . Из членов этой подпоследовательности выберем с наименьшим номером. Далее построим конечную - сеть для . В один из построенных шаров попадет бесконечная подпоследовательность из . Выберем и элемент . Продолжая этот процесс бесконечно, мы построим подпоследовательность . При точки и принадлежат одному шару радиуса и с центром, например, в точке . Из неравенства треугольника имеем

, при ,

т.е. - фундаментальная последовательность. Теорема полностью доказана.

Из теоремы Хаусдорфа и предложения 3 следует следствие.

Следствие 1. Если пространство полно и вполне ограничено, то оно компактно.

Следствие 2. Множество является относительно компактным, если для любого существует относительно компактная - сеть.

Доказательство. Пусть - относительно компактная -сеть для . По теореме Хаусдорфа для существует конечная -сеть . Возьмем . Существует такая точка , что , а для существует точка такая, что . Тогда и, следовательно, множество является конечной - сетью для множества. Следствие доказано.

Определение 7. Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное подмножество.

Следствие 3. Относительно компактное пространство сепарабельно.

Доказательство. Пусть , и множество является конечной - сетью для пространства . Множество счетно и в то же время всюду плотно в . Действительно, для любого и можно найти число такое, что , и точку такую, что . Таким образом, и ; множество всюду плотно в . Следствие доказано.

Предложение 5. Пусть дана последовательность непустых компактных множеств метрического пространства Тогда пересечение не пусто.

Доказательство. В каждом множестве выберем точку и построим последовательность . Она содержится в компактном множестве и поэтому из нее можно выделить подпоследовательность , которая сходится к некоторой точке .

При любом фиксированном , начиная с номера все члены последовательности принадлежат и замкнуто. Отсюда следует, что , но тогда . Предложение доказано.