2.3. Теоремы в полных метрических пространствах

Теорема 3. Для того, чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Необходимость. Пусть пространство полно и

последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров.

Последовательность центров фундаментальна, поскольку

, .

Это неравенство следует из того, что шары вложены друг в друга. Кроме того, при . Так как пространство полно, то существует предел . Нам остается доказать, что . В самом деле, шар содержит все точки последовательности за исключением, быть может, конечного числа. Отсюда следует, что является точкой прикосновения для замкнутого шара и при всех .

Достаточность. Нужно доказать, что всякая фундаментальная последовательность имеет предел. В силу фундаментальности, найдется такой номер , что

, .

Примем за центр замкнутого шара радиуса 1: . Затем найдем так, чтобы и

, .

Примем за центр замкнутого шара радиуса : . После того, как выбраны , найдем так, чтобы

, .

И примем за центр замкнутого шара радиуса : . Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров радиуса . Кроме того, они вложены друг в друга: . Действительно, если , то

, (2.3)

т.е. . По условию теоремы последовательность шаров имеет общую точку .

Подпоследовательности , как следует из (2.3), сходится к . Но тогда и вся последовательность сходится к точке , как следует из предложения 3.

Теорема доказана.

Определение 6. Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если любой открытый шар этого пространства содержит другой открытый шар, целиком свободный от точек множества .

По этому определению во всяком шаре найдется другой шар , в котором нет точек из множества . Тогда точка не является точкой прикосновения множества и поэтому не принадлежит замыканию . Получили, что произвольный шар не содержится целиком в . Верно обратное утверждение. Если произвольный шар не содержится в , то пересечение не пусто и открыто. Поэтому найдется открытый шар , в котором нет точек из множества и тем более из множества .

Таким образом, доказали, что определение 6 эквивалентно следующему определению.

Определение 6 (эквивалентное определение). Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если его замыкание не содержит ни одного открытого шара.

Определение 7. Множество называется множеством первой категории, если его можно представить в виде объединения не более, чем счетного числа нигде не плотных в множеств.

Определение 8. Множество, на являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 4 (Бэр). Полное метрическое пространство есть множество второй категории.

Доказательство. Предположим противное: , где множества нигде не плотны. Возьмем шар с центром в произвольной точке и радиуса 1. Поскольку множество нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества . Точно так же, внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества , и т.д.

В результате получим последовательность вложенных замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар не содержит точек множеств . По теореме 3, существует точка , принадлежащая всем шарам. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств , следовательно, , т.е. . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Определение 9. Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство

. (2.4)

Всякое сжимающее отображение непрерывно.

Теорема 5 (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет одну и только одну неподвижную точку, т.е. уравнение имеет единственное решение .

Доказательство. Возьмем произвольный элемент и положим

, ,…, ,… .

Покажем, что построенная последовательность является фундаментальной. Имеем

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. ..

Далее, применяя неравенство треугольника, получим

.

Так как, по условию , то

,

откуда следует, что , при , .

Следовательно, последовательность фундаментальна и в силу полноты пространства сходится. Пусть .

Докажем, что . В силу непрерывности отображения

.

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если

, ,

то неравенство (2.4) принимает вид

;

так как , отсюда следует, что

, т.е. .

Теорема полностью доказана.