2. Пополнение метрического пространства

2.1. Понятие полного метрического пространства. Примеры неполных пространств

Определение 1. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при .

Предложение 1. Если последовательность сходится к пределу , то она является фундаментальной или последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что при . Следовательно, для . Предложение доказано.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Прежде, чем привести соответствующие примеры, изучим свойство фундаментальных последовательностей.

Определение 2. Подмножество метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Предложение 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Из определения фундаментальной последовательности следует существование такого , что при верно неравенство . Тогда все с содержатся в шаре и, далее, уже все элементы последовательности содержатся в шаре , где

.

Пример 1. Пусть - множество рациональных чисел. Введем расстояние по формуле . В результате станет метрическим пространством: все аксиомы, очевидно, выполняются.

Рассмотрим последовательность . Эта последовательность является фундаментальной. Но она не имеет предела в , так как не является рациональным числом.

Пример 2. На прямой введем расстояние

.

Все аксиомы метрического пространства выполнены. Последовательность является фундаментальной, поскольку

при .

Однако эта последовательность не имеет предела, поскольку для любого имеет место соотношение .

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится.

Метрические пространства в примерах 1 и 2 не являются полными. Однако произвольное метрическое пространство можно включить некоторым способом в полное метрическое пространство. И доказательству этого положения посвящен следующий параграф. А в заключение этого параграфа приведем предложение, которое часто используется при доказательствах.

Предложение 3. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность , сходящуюся к точке , то .

Доказательство. Так как - последовательность Коши, то для всякого найдется такое, что при . Для имеем

.

Поскольку , то, переходя к пределу в последнем неравенстве к пределу, получаем, что . Это и означает, что . Предложение доказано.

2.2. Пополнение метрического пространства

Определение 4. Множество называется всюду плотным в множестве , если , т.е. замыкание множества содержит .

Определение 5. Множество называется всюду плотным в метрическом пространстве , если , т.е. замыкание совпадает со всем пространством .

Теорема 1. Всякое метрическое пространство имеет пополнение .

Доказательство. Назовем две фундаментальные последовательности и эквивалентными, если . Если , то

,

и потому . Таким образом, если одна из эквивалентных последовательностей сходится, то и другая сходится к той же точке.

А теперь разобьем множество всех фундаментальных последовательностей на классы, отнеся в один класс все эквивалентные между собой последовательности. Обозначим через множество таких классов. Как следует из аксиомы треугольника две последовательности, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Одна и та же последовательность не может принадлежать разным классам.

Пусть и два класса из множества . Выберем в классе фундаментальную последовательность , а в классе - . Из неравенства (1.1) получаем

.

Это означает, что числовая последовательность сходится. Полагая

, (2.1)

мы определим расстояние во множестве . Покажем, что это расстояние не зависит от выбора представителей классов. Если последовательность эквивалентна , а эквивалентна , то переходя к пределу в неравенстве

получим

. (2.2)

Теперь нужно проверить, что расстояние, определенное формулой (2.1) удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Первые две аксиомы проверяются без труда. Остановимся на аксиоме треугольника. Пусть , и - последовательности, принадлежащие соответственно классам , и . Имеем

.

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим аксиому треугольника. Следовательно, построено некоторое метрическое пространство .

Теперь построим изометрию метрического пространства на подмножество метрического пространства : .

Каждому элементу поставим в соответствие класс последовательностей, сходящихся к элементу . Этот класс не пуст, поскольку содержит стационарную последовательность . Очевидно,

,

поскольку в качестве определяющих классы и можно взять последовательности и . Итак пространство изометрично .

Далее покажем, что всюду плотно в метрическом пространстве , т.е. замыкание совпадает со всем пространством .

Пусть - произвольный элемент из и - определяющая для этого класса фундаментальная последовательность. Обозначим через стационарную последовательность, т.е. . Докажем, что в пространстве . Так как последовательность фундаментальна, то для любого существует число такое, что

, .

Отсюда и из определения расстояния в пространстве получаем

, .

А это и означает, что в пространстве . И по предложению 9 множество плотно в пространстве .

Наконец, в заключении, докажем полноту пространства . Возьмем фундаментальную в последовательность точек .Так как плотно в пространстве , то для найдется элемент такой, что . С учетом неравенства треугольника имеем

.

Из этого неравенства, учитывая фундаментальность последовательности , получим, что последовательность также является фундаментальной и поэтому представляет некоторый класс . Снова из неравенства треугольника имеем

.

Отсюда окончательно получаем, что . Теорема полностью доказана.

Замечание. В виду того, что пространство изометрично множеству , то мы можем отождествлять их элементы. Это учтем в следующей теореме.

Теорема 2. Пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из .

Доказательство. Пусть и два пополнения пространства . Нужно доказать существование такого взаимно однозначного отображения пространства на , что

1) ;

2) если и , то , где - расстояние в , а - расстояние в .

Возьмем произвольный элемент . По определению пополнения существует последовательность точек из , сходящаяся к . Так как пространство - полно, а последовательность - фундаментальна, то она сходится и в пространстве к некоторой точке . Положим . Отображение и есть искомая изометрия.

В самом деле, по построению, для всех . Далее, пусть

в и в ,

в и в ,

тогда в силу непрерывности расстояния,

,

.

Отсюда следует, что

.

И теорема доказана.