4. Сходимость в метрическом пространстве

Определение 10. Точка метрического пространства называется пределом последовательности точек , если , т.е. для любого положительного числа найдется номер такой, что при всех верно неравенство .

Записываем предел в виде или кратко .

Используя понятие шара, дадим следующую характеристику предела: для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы для любого шара с центром в точке и радиуса существовало такое , что при .

Предложение 8. Последовательность точек может иметь только один предел.

Доказательство. Пусть и . Применяя аксиому треугольника, получим . Правая часть этого неравенства стремится к нулю, а левая неотрицательна. Следовательно , а тогда . Предложение доказано.

Предложение 9. Точка метрического пространства принадлежит замыканию множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества , сходящаяся к .

Доказательство. Пусть . Если при этом , то в качестве последовательности можно взять . Далее полагаем, что . Тогда точка является предельной точкой множества , ему не принадлежащей. Поэтому в каждом шаре , т.е. при любом , имеется хотя бы одна точка . В результате построили последовательность точек из множества , сходящаяся к точке .

Верно и обратное: если , , то . Действительно, если , то точка принадлежит открытому множеству . Поэтому найдется открытый шар с центром в точке , целиком лежащий во множестве , т.е. не имеющий общих точек с множеством . А это противоречит тому, что последовательность точек из множества сходится к . Предложение доказано.

Предложение 10. Расстояние является непрерывной функцией от и .

Доказательство. Непрерывность означает, что если и , то . Для доказательства воспользуемся неравенством (1.1). Из нее следует, что

.

Предложение доказано.

Предложение 11. В метрическом пространстве всякий замкнутый шар является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть - произвольная предельная точка множества . В силу предложения 9, существует последовательность такая, что , при . Поскольку , , то, пользуясь непрерывностью расстояния и переходя к пределу в последнем неравенстве, получим неравенство . Отсюда вытекает, что , т.е. этот шар содержит все свои предельные точки и поэтому является замкнутым множеством. Предложение доказано.

1.5. Непрерывные отображения в метрических пространствах

Пусть и - два метрических пространства и - некоторое отображение в , которое каждому элементу ставит в соответствие некоторый элемент .

Определение 11. Отображение называется непрерывным в точке , если

. (1.13)

Если отображение непрерывно в каждой точке пространства , то его называют непрерывным на . Справедлива теорема.

Теорема 1. Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности , сходящейся к , последовательность сходится к .

Доказательство. Пусть непрерывно в точке и . По найдем такое , чтобы из неравенства следовало . А для найдем число такое, при выполнено . Тогда и, следовательно, .

Докажем обратное. Пусть для любой последовательности имеем , но отображение не является непрерывным. Построим в символьной форме отрицание (1.13)

. (1.14)

На основе (1.14) выберем так, что , но . Тогда , но не сходится к . Полученное противоречие и доказывает вторую часть теоремы.

Определение 12. Взаимно однозначное отображение пространства на все пространство , для которого обратное отображение также непрерывно, называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом. При этом соответствующие пространства и называются гомеоморфными.

Примером гомеоморфизма является функция , отображающая прямую на интервал .

Определение 13. Отображение называется равномерно непрерывным, если

. (1.15)

Каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, но обратное неверно. Как доказывается в курсе математического анализа, на действительной прямой функция не является равномерно непрерывной.

Определение 14. Отображение , действующее в метрическом пространстве удовлетворяет условию Гельдера порядка , , если существует такая постоянная , что при всех выполнено неравенство

.

При говорят, что удовлетворяет условию Липшица.

Функция, удовлетворяющая условию Гельдера порядка равномерно непрерывна, но обратное неверно, как показывает следующий пример:

Приведем еще одно определение, которое играет очень важную роль в теории метрических пространств.

Определение 15. Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется изометрическим (изометрией), если для любых выполнено равенство

. (1.16)

Изометрическое отображение пространства на все пространство называется изометрическим изоморфизмом, a пространства и называются изометричными.

С точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства считаются одинаковыми.

Приведем пример такого отображения. Прямая с метрикой

изометрична интервалу с обычной метрикой. Изометрия задается отображением