1. Метрические пространства

1.1. Определение метрического пространства и основные неравенства

Определение 1. Метрическим пространством называется множество , в котором для любых двух его элементов и определено неотрицательное число , называемое расстоянием, причем выполнены следующие аксиомы:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома симметрии);

3) для любых трех элементов , и

(аксиома треугольника).

Элементы метрического пространства часто называют его точками. Метрическое пространство образовано множеством и расстоянием , поэтому оно обозначается , однако для краткости будем обозначать буквой .

Далее справедливо предложение.

Предложение 1. В метрическом пространстве для любых элементов и справедливо неравенство

. (1.1) Доказательство. Из неравенства треугольника получаем соотношение

или

(1.2)

Меняя в этом неравенстве и местами, приходим к неравенству противоположного знака

(1.3)

Из неравенств (1.2) и (1.3) следует доказательство предложения.

Следствие. В метрическом пространстве для любых элементов и справедливо неравенство

(1.4)

Это неравенство получается как частный случай неравенства (1.1) и оно означает, что каждая сторона треугольника не меньше разности двух других сторон.

2. Примеры метрических пространств

Приведем примеры наиболее часто встречающихся метрических пространств. При этом первые две аксиомы проверяются без труда. Для проверки аксиомы треугольника в ряде случаев используются известные неравенства, имеющие самостоятельное значение. Доказательство таких неравенств, как правило, приводится в приложении.

1. Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое пространство) - это произвольное множество, для которого

Все три аксиомы очевидно выполняются.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство .

3. Во множестве действительных чисел метрику можно также определить по формуле

Здесь определяется как в примере 2.

4. Евклидово пространство - это множество упорядоченных наборов из действительных чисел с расстоянием

( ) (1.5)

Пусть , , ; тогда аксиома треугольника записывается в виде

. (1.6)

Полагая , , получаем , а неравенство (1.6) принимает вид

. (1.7)

Это – так называемое неравенство Минковского. Его доказательство приводится в приложении.

5. Пространство всех ограниченных числовых последовательностей . Последовательность ограничена, если найдется такое число , что верно неравенство для всех . Для двух числовых последовательностей и расстояние определяется по формуле

.

Проверим аксиому треугольника. Имеем

.

Отсюда

.

6. Пространство состоит из вещественных последовательностей , для которых . Расстояние в нем определяется по формуле

.

Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского, приводимого в приложении.

7. Пространство всех числовых последовательностей. Метрику в нем определяем по формуле

.

Этот ряд, очевидно, сходится. Для проверки неравенства треугольника, вначале докажем одно вспомогательное неравенство. Пусть . Тогда . Деля это неравенство на , получим

. (1.8)

Возьмем три последовательности , и . Для каждого справедливо неравенство и с учетом (1.8) имеем

. (1.9)

Умножая крайние члены ряда (1.9) на и суммируя по , получим неравенство треугольника.

8. Пространство всех непрерывных действительных функций , определенных на отрезке , с расстоянием

.

Проверим аксиому треугольника. Имеем

. (1.10)

Так как неравенство (1.10) справедливо при всех , то получим

. Следовательно - метрическое пространство.

9. Пространство состоит из всех измеримых по Лебегу на функций , для которых

,

где - некоторое положительное число.

Расстояние в этом пространстве определяется по формуле

.

Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского для интегралов, приводимого в приложении.

10. В заключении приведем еще одно пространство. На действительной прямой определим метрику с помощью строго монотонной действительной функции , полагая

.

Аксиомы метрического пространства проверяются без труда.