5. Задачи
1. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны двум аксиомам:
1) (аксиома тождества);
2) для любых трех элементов , и
(аксиома треугольника).
2. Доказать, что для любых точек
метрического пространства справедливо
неравенство
.
3. Является ли множество натуральных
чисел
метрическим пространством, если для
любых
метрика вводится одним из соотношений:
;
;
;
4. Докажите, что если - метрика на множестве , то функция
также является метрикой на .
5. Будет ли метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
,
где -непрерывная и строго монотонная функция.
Доказать, что если - предельная точка множества , то в любой окрестности точки имеется бесконечное множество точек множества .
Доказать, что если
,
то
.Доказать, что
.Доказать, что в произвольном метрическом пространстве замыкание открытого шара лежит в соответствующем замкнутом шаре:
.Привести пример метрического пространства, в котором
.
Привести пример метрического пространства, в котором шар большего радиуса содержится в шаре меньшего радиуса.
Привести пример непустых и непересекающихся замкнутых множеств и
,
расстояние между которыми равно нулю:
.
13. Доказать, что сходимость последовательности элементов пространства
к точке
означает равномерную сходимость
последовательности функций
к функции 
.
14. Доказать, что множество
всех
непрерывных на отрезке
функций,
удовлетворяющих неравенствам
,
является открытым множеством.
15. Пусть - полное метрическое пространство и . Тогда справедливы утверждения:
если множество замкнуто, то оно полно;
если множество полно, то оно замкнуто;
16. Доказать, что прямая
с метрикой
не является полной. Построить пополнение
этого метрического пространства.
17. На множестве
натуральных чисел введена метрика по
формуле
Доказать справедливость аксиом метрического пространства,
описать
замкнутые шары
,
доказать,
что пересечение шаров пусто:
,
доказать
полноту метрического пространства.
18. Докажите полноту метрического пространства .
19. Докажите, что последовательность
сходится в пространстве
.
20. Докажите, что последовательность
не сходится в пространстве
.
21. Доказать, что множество
непрерывных на отрезке
функций с метрикой
не является полным метрическим пространством.
22. Доказать, что пространство всех определенных на отрезке многочленов с метрикой
не является полным.
23. В метрическом пространстве
задана последовательность вида
,
где ненулевых элементов ровно . Доказать, что последовательность не сходится.
24. Рассмотрим пространство
финитных последовательностей
и для двух элементов
,
,
где
,
определим метрику по формуле
.
Найти пополнение метрического пространства .
25. Докажите, что в полном метрическом пространстве замыкание относительно компактного множества является компактом.
26. Докажите, что единичный
замкнутый
в пространстве
не является компактом.
27. Докажите относительную
компактность основного параллелепипеда
в пространстве
,
представляющего собой множество
точек
,
координаты которых удовлетворяют
условиям
,
.
28. Докажите относительную компактность
в пространстве
множества
точек
,
координаты которых удовлетворяют
условиям
,
,
причем сходится ряд
.
29. Пусть множество
состоит из функций, удовлетворяющих
неравенству
.
Доказать, что множество
не является относительно компактным.
30. Пусть множество состоит из непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям
,
.
Доказать, что множество относительно компактно.
31. Пусть
-
полное метрическое пространство,
- последовательность открытых всюду
плотных множеств
.
Докажите, что пересечение
является всюду плотным множеством.
32. Пусть
- фиксированное натуральное число и
- множество, составленное из финитных
последовательностей. Доказать, что
множество
нигде
не плотно в пространстве
.
33. Докажите, что каждая точка канторова множества является его предельной точкой.
34. Докажите, что канторово множество нигде не плотно на отрезке .
35. Доказать, что пространство всех ограниченных числовых последовательностей с расстоянием
не сепарабельно.
36. Докажите, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение?
37. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно.