3.5. Свойства непрерывных отображений на компактных пространствах

Предложение 6. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.

Доказательство. Пусть - непрерывное отображение и - компактное множество в . Возьмем произвольную последовательность . Тогда существует последовательность такая, что , .

Последовательности имеет сходящуюся подпоследовательность: , причем . Тогда в силу непрерывности . Предложение доказано.

Предложение 7. Образ компактного множества при непрерывном отображении ограничен и замкнут.

Доказательство следует из предложения 6 и того, что компактное множество в метрическом пространстве ограничено и замкнуто. Предложение доказано.

Предложение 8. Пусть отображает компактное метрическое пространство на числовую прямую . Тогда отображение ограничено и достигает своей точной верхней и точной нижней грани.

Доказательство. Числовое множество , согласно предложения 6, ограничено и замкнуто. А из замкнутости следует, что точная верхняя и точная нижняя грани принадлежат множеству значений. Предложение доказано.

Предложение 9. Любое непрерывное отображение компактного метрического пространства в метрическое пространство является равномерно непрерывным.

Доказательство. Предположим, что не является равномерно непрерывным, т.е. не выполняется (1.15). Построим в символической форме отрицание :

.

Используя это отрицание, для каждого выберем такие и , что

, . (3.4)

Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда , т.е. .

Но отображение непрерывно, поэтому , и, следовательно, , что противоречит неравенству (3.4). Полученное противоречие и доказывает предложение.

4. Приложения

4.1. Приложение 1. Вспомогательные неравенства

Предложение 1. Пусть и - вещественные числа, связанные соотношением

, (4.1)

тогда для любых неотрицательных чисел и имеет место неравенство

. (4.2)

Доказательство. Можно полагать, что . Рассмотрим функцию , где , a , и согласно (4.1) . Найдем производную . Анализ производной показывает, что наибольшего значения функция достигает при . Поэтому или

. (4.3)

Полагая в неравенстве (4.3) и учитывая связь , получим

. (4.4)

Умножим это неравенство на

. (4.5)

Наконец, учитывая соотношение , найдем

.

Предложение доказано.

Неравенство Гельдера. Для произвольных чисел и справедливо неравенство Гельдера

. (4.6) Доказательство. Введем обозначения

, , , . (4.7)

Запишем неравенство (4.2)

и просуммируем по . В результате получим

. (4.8)

Используя соотношения , и переходя от величин , к величинам , , из (4.8) найдем

. (4.9)

Отсюда следует неравенство Гельдера

. (4.10)

Неравенство доказано.

Неравенство Гельдера для бесконечных сумм. Пусть даны бесконечные последовательности чисел и .

Предположим, что сходятся числовые ряды , . Переходя в неравенстве (4.10) к пределу, когда , получим

. (4.11)

Неравенство Коши-Буняковского получается как частный случай неравенства Гельдера, когда

. (4.12) Интегральное неравенство Гельдера. Имеет место неравенство

. (4.13)

Доказательство. Полагаем, что существуют интегралы, входящие в правую часть (4.13). Введем следующие обозначения

, , , . (4.14)

Применяя неравенство (4.2) к функциям и , получим

.

Проинтегрируем это неравенство и учтем обозначения (4.14). В итоге найдем

.

Отсюда следует

.

Неравенство доказано.

Интегральное неравенство Коши-Буняковского получается как частный случай,

когда

. (4.15)

Неравенство Минковского. Для , произвольных чисел и справедливо неравенство Минковского

. (4.16)

Доказательство. Достаточно ограничиться случаем , , .

Имеем

. (4.17)

При справедливость неравенства (4.16) очевидна. Полагая , введем с тем, чтобы . Далее к каждому слагаемому в правой части (4.17) применим неравенство Гельдера. В результате будем иметь

. (4.18) Заметим, что . Умножая обе части (4.18) на

,

получим

.

С учетом равенства получаем окончательное доказательство неравенства Минковского.

Неравенство Минковского для бесконечных сумм. Пусть даны бесконечные последовательности чисел и .

Предположим, что сходятся числовые ряды , . Переходя в неравенстве (4.16) к пределу, когда , получим неравенство Минковского

. (4.19)

Интегральное Неравенство Минковского.. Справедливо неравенство

, (4.20)

где , а и - произвольные функции.

Доказательство. Имеем

. (4.21)

Введем число такое что . Применяя к слагаемым в правой части (4.21) интегральное неравенство Гельдера, получим

. (4.22)

Умножая обе части (4.22) на

и учитывая равенство получим

.

Так как , то имеем полное доказательство неравенства Минковского.